庞加莱狂攻击,老师怒割席,一念天堂一念地狱的数学理论
在学习集合的内容时,我们通常是按照从集合概念开始,随后引入属于、包含的定义,以及集合的并、交等运算这样的顺序进行的。但康托尔创建集合论的历程却与此完全不同。康托尔是在研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”的过程中,先是涉及无穷点集,随后一步步地发展出一般集合概念,并把集合论发展成一门独立学科的。
面向链接预测的知识图谱表示学习方法综述
基于表示学习建模方式,将现有方法细化为4类模型:平移距离模型、张量分解模型、传统神经网络模型和图神经网络模型,并详细描述每类模型的实现方式与解决不同关系元数链接预测任务的代表模型.在介绍链接预测的常用的数据集与评判标准基础上,分别对比分析二元关系、多元关系和超关系3类知识表示形式下,4类知识表示学...
数学悖论系列之五(无限大的悖论)
判断两个有限集合中元素的“多少”,所采用“数数”的方法——就是建立“一一对应”的映射的过程。这种方法可以进一步推广到无限集合,为此数学家给出“势”的概念。集合的势是一个用来度量集合所含元素多少的量。对于两个集合A和B,如果存在从A到B的双射,就称A和B是等势的(即基数相等),记为:|A|=|B|。集...
席南华:基础数学的一些过去和现状
其中一个核心的概念是等势:两个集合称为等势的如果它们之间能建立一一对应。有意思的一件事情是自然数集合和有理数集合等势,但与实数集合不等势。1874年,康托尔提出有名的连续统假设:实数集合的任何无穷子集要么与实数集合等势,要么与自然数集合等势。1940年哥德尔证明了这个假设与现有的公理体系不矛盾。20世纪...
“氢弹之父”乌拉姆:我的朋友冯·诺伊曼
例如,冯·诺伊曼构造了一个与连续统等势的实数子集,使其内任何有限个元素都是代数无关的。而该证明没有用到选择公理。在同年发表在《数学基础》(FundamentaMathematicae)上的一篇论文[14]14中,他给出将区间分解为可数个不相交且同余的子集的方法(译者注:实数集的两个子集是同余的当且仅当其中一个子集通过平移...
古埃及分数的现代奇遇
集合论中,一般通过映射来比大小:如果两个集合和之间存在一一对应的关系,则称二者等势,(www.e993.com)2024年11月6日。如果与的某个子集等势,则。但是对于无限集和,它却有可能与自己的子集等势。可以证明,在等势意义下,自然数集是最小的无限集,而它包含的所有无限子集都与...
我在复旦学逻辑(四)
还有一件丢人的事情,有一次老师讲了一个基数运算的题目,大概是说某个幂集和实数等势之类的。讲完做法之后老师说现在还没有不用选择公理证明的方法。虽然那时候我还说不出选择公理的具体内容,我还是起了兴趣,觉得就是想办法构造个函数说明双射就可以。我就回去想证明,下一周下课之后就和老师说,然后说着说着就发...
P=NP:多项式时间可解背包问题和3-着色问题
以上已经证明了,所有给定的离散量都可以用最简离散量来实现一一映射,因此NP=P,但因为仅在多项式时间里讨论,理论上可解的问题实际上不可解。任意给定的离散量并不能代表所有的离散量,故从某种意义上又始终(可理解成实际上)存在NP>P。即从一一映射的角度分析,NP与P是等势的,故可找到等量的函数表达...
高考物理知识点总结:高中物理知识点总复习2
有一位著名学者与青年学生谈起学习方法时,曾说过有名的两句话:“从薄到厚,从厚到”.如果把平时的教学以及单元复包等看作是从初步认识到逐渐深化、扩展的“从落到厚”的过程,那么综合复习就是一个归纳、概批从厚到效的过程。通过综合复习,可以更完整地看到高中物理知识的全貌,掌握其主要内容、规律和方法,有利于...
科学家找到超级能源,取用不尽,实验证实是人类突破文明藩篱希望
整个宇宙的大爆炸所蕴含的总能量可能与它相当。这些能量有的产生可见物质,有的产生暗物质,有的产生暗能量。这些能量的大小是违反直觉的,但并不违反最严格的数学定律——集合论。真空是虚粒子的海洋,其中包含的虚粒子数量是无穷无尽的。虚粒子的个数与1、2、3、4、5和无穷大自然数组成的整个集合等势,都属于无限...