数学说:一个人绝不可能通过传销发财,这个数列是收敛的!

一个等比数列,Q小于1,必然收敛于某一个数——你所获得的收益必然收敛于某个数,你的收入不是呈指数级增长的。你发展不了那么多人,每个人认识的人都是有限的。在这些有限的人中,也没有多少人愿意加入。发展一个下线就都很难,别说是陌生人了,身边的人都不信你。做点其他事情吧,现在这年头正经赚钱的方...

发散级数怎样求和?

这样,如果把用于发散数列的切萨罗算术平均法移植到对于发散级数的广义求和,这个方法满足前面提出的遗传性和线性两个基本要求。综上所述,我们有了发散级数的切萨罗广义求和算术平均法:对于给定的发散级数,如果它的部分和数列在切萨罗算术平均的意义下收敛到极限s,则称原级数在切萨罗算术平均的意义下有广义和s。由前面...

有趣的无穷:许多人弄不懂,是因为在用有限去理解无限

比如,数列1、2、3、4、5…就是发散的,因为最后的值很大很大。而??、??、…就是收敛的,它无限逼近于0。(怎么定义无限逼近,后来柯西给出了严谨的定义。)注意,无限逼近。细品,是不是一种趋势,而且这种趋势还有大有小。也就是说:有些数列收敛的快,有些收敛的慢。有些数列发散的快,有些发散的慢...

最高阶的无穷大,竟然是它——你能画出的曲线数

无限数列改变计算方式,能得到很多答案,到底哪个对?柯西大神出来说话了:他说大家都忽略了一点,无穷不是一个数,它不确定,所以它不是总能被求和的。而且计算无穷数列时,加减乘除的四则运算法则不能用,你不能改变计算顺序。无穷虽然不能有确定的值,但是它可以收敛或者发散。比如,数列1、2、3、4、5…就是发...

美丽而“无用”的莫比乌斯反演,解决了一类物理问题

理由很简单:仅仅条件收敛的级数可以重新排列通项数列使得新级数改变其和。我们先考虑以博学家(polymath)兰伯特(JohannHeinrichLambert,1728-1777)姓氏命名的一类特殊级数。对于无穷数列{f(n)},假定|x|<1,运用等比级数求和公式,有上式左端称为兰伯特级数,右端说明它等于幂级数,其中{f(n)}和{g(n)}满足(*)...

数学领域中,最令人痴迷的还得是数论,最简单的也是最难的

那么,素数到底多到什么程度?想要得到一点感觉的方法之一是考虑,对于其他整数序列,与(3)相类似的性态如何(www.e993.com)2024年11月15日。例如所以,素数在一定意义下,比完全平方数要多得多。如果把上面的指数2换成任意s>1,这个论据也是可以用的,因为我们已经看到所以也是收敛的。事实上,因为...

机器学习缺乏清晰理论与工程框架,需重新思考评估方法及目标

我们还可以直接总结或者提取规则:比如看高斯在做加法的时候,大家都说高斯很天才,他9岁的时候就发明了等差数列求和方法,计算从1到100这100个整数之和,他是把1+100,2+99得到101,然后再乘以50。这就是一种规律,而不是说把数字全加起来。这是一种学习方式,着眼于规则,而不是基本数据(rawdata...

顶级AI学者邢波:机器学习缺乏清晰理论框架,需重定评估目标方法

这两种方法,第一种方法是有数学自洽度的,对于理论的完备绝对是有用的,因为它能够证明所谓的consistency,一致性、收敛性,这都是通过自定义的目标可以搞清楚的。但是它的价值也仅在此而已,因为内置目标的优化跟外界的功能目标是否一致完全没有保障。所以我们会用第二种,exogenous目标,最简单的就是人的标注。我分...

希尔伯特第八问题有望终结:黎曼猜想获证!

如此一来,大多情形,经解析延拓后减去一个同原函数仅有同态关系的偶数项数列求和就无法条件收敛于0,而是收敛于其他常数,或者继续发散。此为证明核心,后文详述。本文仅凭“浓缩实部常数”和伽马函数就可粗略地证明黎曼猜想成立。“浓缩实部常数”证明了黎曼泽塔函数因变量实部互异唯一,自变量的实部就互异唯一,而根据伽马...

解集基底互素定理可判定黎曼假设中的狄利克雷特征无扩域通解

黎曼泽塔函数解析延拓求和会收敛为0,就是因为有一个“正数项发散级数和”以及一个“负数项发散级数和”。用黎曼-西格尔公式求个解的时候,也是根据虚部变量会单调递增和递减来正反靠近一个定值,此时两类正负函数值的和趋于0,黎曼把这类解叫非平凡解。从黎曼-西格尔公式的解法里,可得知,实部为0,跟取模长为1/2强...