如何用级数来求函数近似值?看泰勒公式是如何展开的

如何用级数来求函数近似值?看泰勒公式是如何展开的本片为科普中国·星空计划扶持作品出品丨中国科协科普部监制丨中国科学技术出版社有限公司、北京中科星河文化传媒有限公司制作丨梯度世界科普创作者审核丨丁玖美国南密西西比大学数学系教授本文封面图片来自版权图库转载使用可能引发版权纠纷...

梯度下降算法:数学原理与深度解析

泰勒级数展开是一种用无限多项式来逼近一个函数的方法。在梯度下降算法中,我们可以将目标函数在当前点附近进行泰勒级数展开,从而得到函数值变化的一个近似表达式。通过保留泰勒级数展开的一阶项(即线性项),我们可以得到一个关于参数变化的线性近似模型。这个线性近似模型的梯度就是原目标函数在当前点处的梯度。因此,沿...

你知道泰勒级数,但你了解泰勒吗?

这部奠基性的论著建立了今天周知的“泰勒级数”,即把实单变量光滑函数作无穷级数展开的第一个一般表达式,也称为“泰勒展开公式”。用今天的话来说,一个实单变量光滑函数的泰勒级数是无穷多个单项的总和,其中各项以该函数在同一个实数点处的不同阶导数来表示。泰勒级数的前有限项组成一个有限次多项式,称为“泰勒...

泰勒级数经典之作:有关泰勒级数前几项的几何原理

泰勒级数经典之作:有关泰勒级数前几项的几何原理泰勒级数大家应该都很熟悉了,如下所示,它可以计算任意函数f(x)所有阶导数在a处的值如下就是e^x在0附近时的无穷级数形式,它是最简单的也是最有用的级数之一,它的导数就是其本身我们现在用几何原理来解释泰勒级数的前几项,这是非常有趣的,可以很好地拓展我们...

麦克劳林级数

1.麦克劳林级数：牛顿的学生麦克劳于1742年给出的，以麦克劳林命名。用来证明局部极值的充分条件。克劳林级数是泰勒级数的一个特例。它是用来证明局部极值的充分条件。2.常用的几个麦克劳林级数可以根据图像“变化率”划分为“平缓趋势和爆炸趋势”两类。麦克劳林级数的规律：趋势平缓的，其展开式均为“+、-”交错的...

欧拉对“级数”的研究,发现了其他数学家几十年未能发现的结论

泰勒是第一个发表此级数的人,但他不是第一个发现此级数的数学家(www.e993.com)2024年12月19日。在他之前格雷戈里、牛顿、莱布尼茨、约翰·伯努利和棣莫弗等数学家都研究过此级数。例如1717年泰勒运用这个级数求解方程,取得了很好的结果,但是他的证明是不严格的而且没有考虑收敛问题,在当时影响并不太大。直到1755年,欧拉在微分学中将泰勒级数推广...

在线计算专题(08):泰勒公式、常值级数、幂级数与傅里叶级数求和与...

泰勒公式是高等数学理论证明和数值计算最重要的内容之一.常值级数敛散性判定、幂级数求和与函数的幂级数、傅里叶级数展开也是高等数学、数学分析、微积分课程的主要内容,同时也是学习过程与各类相关考试中经常遇到的题型。因此,如何及时检测解题过程的有效性、计算结果的正确性,是学习以及探索解题过程中必然会遇得到的问...

《张朝阳的物理课》线下第二课收官 介绍经典波动方程与声速的计算

根据假设,T为常数,不依赖于x,对等式右边的偏导数做关于x的泰勒展开,并在消去一个Δx后让Δx趋向于0,最后得到:这就是琴弦的波动方程。由于时间关系,对于这个经典的微分方程,现场并未对其求解过程进行详细计算。张朝阳直接写出其通解的大致形式:随后,他对这个通解作了进一步解释。以其中的g(x-vt)为例,假如函数...

《张朝阳的物理课》探究谐振子模型的量子化问题

分子势能模型:选取平衡位置点泰勒展开做近似谐振子是弹簧的理想模型,但是微观世界并没有弹簧,那么谐振子对于量子力学有什么意义呢?张朝阳以双原子分子为例,对此作出生动的介绍。他在小白板上明示双原子分子中的两个原子之间的势能。(双原子分子中的两个原子之间的势能曲线(右上角))...

Svetlana Jitomirskaya院士做客南开大学“陈省身讲座”

报告中,SvetlanaJitomirskaya院士首先从牛顿时代的数学开始谈起,她认为牛顿在数学上的主要发现是泰勒级数。牛顿在他的数学中多次使用了泰勒级数展开的技巧,但是他隐去了这个发现。牛顿在研究天体力学系统的稳定性时,发现通过级数展开的方法,所有的微分方程都可以扰动地解出。随后,SvetlanaJitomirskaya院士回顾天体力学...