席南华:基础数学的一些过去和现状
对有限循环群的特征,狄利克雷构造了与黎曼ζ函数类似的函数,现称为狄利克雷L函数。利用这些函数,他证明了一个有趣的结论——很多算术数列含有无限多个素数。具体说来就是:如果两个正整数a和m互素,那么算术数列a+m,a+2m,a+3m,…,a+km,…里有无穷多个素数。后来阿廷对数域的有限扩张域的伽罗瓦群...
群论——一门探索对称与代数结构的神奇数学
值得注意的是,尽管循环群都是交换群,但并非所有交换群都是循环群。例如,实数加法群和有理数乘法群是交换群,但它们不能由单个生成元生成,因此不是循环群。交换群(阿贝尔群)在代数和其他数学领域具有重要应用。许多代数结构(如向量空间、模等)可以看作是基于交换群的扩展。此外,在代数几何、代数拓扑和数论等...
98 年“后浪”科学家,首次挑战图片翻转不变性假设,一作拿下 CVPR...
这些循环群的群运算(groupoperation)可以被定义如下:每个循环群的阶(orderofgroup)由T以及其中的元素决定。举个例子,如果T为镜像翻转,那么对于一张对称的照片,其所在群的阶为1。对于不对称的一张照片,其所在群的阶为2。经过图像处理后,每个循环群将变化为:命题3里,我们假设T和J具备交换律,那...
??伽罗瓦理论究竟想干什么?
例如,把红色线连接的小五边形看做子群(这是个阶循环群),如果它是正规的,那么从一个红色五边形出发的所有蓝色线段,都必须进入同一个陪集,也就是最邻近的另一个红色五边形。可惜这些蓝色线都进入了不同的红色五边形。事实上,这种每个局部小多边形都尽量与其他小多边形连接的结构,会使整体结构非常稳定而坚固,对群除...
挚爱数学:非凡的天才伽罗瓦和他优美的理论
如上所述,阿贝尔在1824年就已经证明了根式求解的“五次公式”是不可能存在的,但是伽罗瓦进行了更深入的理论研究,提出了现在的伽罗瓦理论。这一理论可以用来确定任意的一个多项式方程是不是有根式解。伽罗瓦是第一个创造“群”这个词的人,他使用的定义(几乎)和我们今天在不同的大学和学院使用的定义一样。他提...
合肥工业大学数学学院2023考研复试考试大纲
代数运算、等价关系、集合的分类、群、子群及陪集、Lagrange定理及相关结论、循环群、交换群、置换群、群同态、群同构、正规子群、商群、群同态基本定理及应用(www.e993.com)2024年10月25日。环的定义及性质、整环,除环及域的概念、无零因子环的特征、子环、商环、环同态基本定理及应用、素理想和极大理想的概念及相关结论、模n的剩余类环。
破解对称性的必备利器——群论
分别表示4阶循环群(Cyclicgroup)和8阶二面体群(Dihedralgroup,又名“墙纸群”)。这里需要注意注意,群的阶数表示它的元素个数,由于D_4有两个生成元(旋转和翻折两个动作),一共含有8个元素而非4个,有兴趣的读者可以自行验证。然而数学家们并不喜欢上面这种对于群的解读方式——用群这么...
《历史与结构观点下的群论》:群的来历与本质
该书共分为4章,外加3个附录。其中第1章论述集合、关系与结构的概念;第2章讲解循环群、交换群、置换群、正规子群、商群、同态定理等内容;第3章讲解群作用、西罗定理与群表示等内容;第4章是作者对群论的一些总结。3个附录分别是小阶群的结构、有限单群分类表与数学家阿贝尔和伽罗瓦的传记。