席南华:基础数学的一些过去和现状|黎曼|代数|数论|群论|拓扑学|...
对有限循环群的特征,狄利克雷构造了与黎曼ζ函数类似的函数,现称为狄利克雷L函数。利用这些函数,他证明了一个有趣的结论——很多算术数列含有无限多个素数。具体说来就是:如果两个正整数a和m互素,那么算术数列a+m,a+2m,a+3m,…,a+km,…里有无穷多个素数。后来阿廷对数域的有限扩张域的伽罗瓦群...
合肥工业大学数学学院2023考研复试考试大纲
代数运算、等价关系、集合的分类、群、子群及陪集、Lagrange定理及相关结论、循环群、交换群、置换群、群同态、群同构、正规子群、商群、群同态基本定理及应用。环的定义及性质、整环,除环及域的概念、无零因子环的特征、子环、商环、环同态基本定理及应用、素理想和极大理想的概念及相关结论、模n的剩余类环。...
代数是如何发展到如此抽象的地步的?抽象难懂的代数概念有啥用?
这些代换(即K的自同构)形成一个(有限)群,而伽罗瓦就是对这个群进行分析,伽罗瓦分析的这个群论的侧面特别具有潜力,他引进了一些概念,虽然用的不是当今的名词。例如群的正规子群、因子群、可解群等等。这样,伽罗瓦就从群及其内部结构这个抽象的视野,解决了多项式方程何时可以用根式求解这个具体的问题。刘维尔伽罗瓦的...
《历史与结构观点下的群论》:群的来历与本质
其中第1章论述集合、关系与结构的概念;第2章讲解循环群、交换群、置换群、正规子群、商群、同态定理等内容;第3章讲解群作用、西罗定理与群表示等内容;第4章是作者对群论的一些总结。3个附录分别是小阶群的结构、有限单群分类表与数学家阿贝尔和伽罗瓦的传记。虽然前三章以及附录1和附录2内容从目录编排上来看与抽...
群论——一门探索对称与代数结构的神奇数学
二、交换群、循环群2.1循环群循环群是指可以由单个元素生成的群。这意味着群中的所有元素都可以通过这个生成元(或其逆元)的幂运算得到。形式上,对于群G中的某个元素g,如果G中的所有元素都可以表示为g^n的形式(n是整数),那么我们称G是由g生成的循环群,记作G=<g>。循环群可以是有限的也可以是...
??伽罗瓦理论究竟想干什么?
根据可解群的定义,可以得到一个结论:可解群的子群都是可解群(www.e993.com)2024年10月25日。这样我们就可以转而观察的子群。的子群只有和平凡子群,其中是指五阶交错群,其中的每一个置换,都是偶置换,即,可以分解为偶数个和交换的形式(比如说这样置换)。相比的!个元素,只有一半:个元素,很容易画出它的凯莱图:...
挚爱数学:非凡的天才伽罗瓦和他优美的理论
如上所述,阿贝尔在1824年就已经证明了根式求解的“五次公式”是不可能存在的,但是伽罗瓦进行了更深入的理论研究,提出了现在的伽罗瓦理论。这一理论可以用来确定任意的一个多项式方程是不是有根式解。伽罗瓦是第一个创造“群”这个词的人,他使用的定义(几乎)和我们今天在不同的大学和学院使用的定义一样。他提...
抽象数学
这些研究被卡尔·弗里德里希·高斯更进一步的推进,他考量了可交换群模n的剩余之结构,并建立起许多循环群与更一般的阿贝尔群之性质。在高斯对二元二次型复合的研究中,他明确指出了复合的结合律,但如同欧拉一般,比起一般性的理论,他似乎对具体的结论更感兴趣。1870年,利奥波德·克罗内克给出阿贝尔群在数域之理想...
傅里叶变换的强大,远超你的想象,深挖其背后的数学原理和细节
即n阶循环群。现在考虑无限群。令f为定义在单位圆周T上的一个复函数。为了避免一些技术上的问题,假设f为光滑的,即无限可微的。如果f是一个形状简单的函数n是一个整数,而c是一个常数,则f有n阶的旋转对称性。即是说,若再令则对于任意复数z∈C,f(ωz)=f(z)。从前面的例子看到,并不惊奇,任意光滑函数...
后量子时代,密码何去何从?|算法|rsa|密码学|公钥|哈希|key_网易订阅
计算安全是指密码算法的安全性基于某个计算困难问题,比如Diffie-Hellman密钥交换协议的安全性可以近似(实际上不等价)理解为是基于“离散对数”问题的困难性:随机选取∈,给定()=mod无法高效地算出,其中是某个阶的乘法循环群的生成元;而RSA问题也可近似理解成随机选取两个等长的质数和,从(,)=??分解出和是...