线性代数学与练第05讲 矩阵的乘法及相关运算性质

由定义可知,结果矩阵中的元素由矩阵的第行元素与矩阵中的第列元素对应位置的元素依次相乘后再相加得到,如图1所示.图1矩阵乘法示意图定义了矩阵的乘法就可以将线性方程组用矩阵来描述了.设某线性方程组的系数矩阵,未知数构成的列矩阵,常数项构成的列矩阵为为则由矩阵乘法的定义,可得令,得...

中国科学院用数学研究深度学习,助力理解神经网络深度的有效性

这样做的好处是,当两个矩阵是可交换的时候,经过矩阵指数函数激活之后,所得到的矩阵也是可交换的。为了使特定矩阵具有可交换的性质,就需要额外增加一层网络参数。有了可交换的性质,就很容易求解上述方程,那么就可以在等效的大矩阵里做消元,找到三层函数的一组解。就这样,他就在这种特殊的激活函数下实现了最初的...

2024年克拉福德数学奖授予女数学家克莱尔·瓦赞

几何性质反映在函数的代数性质中,其中空间中的点代表变量。以这种方式构造的代数通常是可交换的,这意味着运算的结果与其执行的顺序无关。一个例子是普通的乘法:a·b=b·a。但在算子代数的研究中,经常会遇到非交换性质。矩阵乘法是通常不可交换的一个例子:A·B不等于B·A。AlainConnes的想法是,使...

大模型也能切片,微软SliceGPT让LLAMA-2计算效率大增

剪枝方法的工作原理是将LLM中权重矩阵的某些元素设置为零,并(选择性地)更新矩阵的周围元素以进行补偿。其结果是形成了一种稀疏模式,这意味着在神经网络前向传递所需的矩阵乘法中,可以跳过一些浮点运算。运算速度的相对提升取决于稀疏程度和稀疏模式:结构更合理的稀疏模式会带来更多的计算增益。与其他剪枝方法不同,...

最强大的数学和物理工具——张量,复杂的数学结构和高度的抽象性

元素加法是可交换的和可结合的。存在加法的单位元素0。存在加法逆元。标量乘法是可加的、可分配的和可结合的。基集基集是向量空间中的一组特殊向量,它们的特点在于向量空间中的任何向量都可以通过这些基向量的线性组合来表示。这种线性组合是通过将每个基向量乘以一个标量(数字)然后将它们相加来实现的。在向...

【数学史】矩阵和线性代数原来是这么来的

以上就是两个矩阵复合的规则,也是我们现在线性代数书上定义的矩阵乘法的来历(www.e993.com)2024年11月27日。要注意的是,该运算是不可交换的,说明线性函数的复合是跟次序有关系的。凯莱就这样研究了关于矩阵复合的代数,包括矩阵求逆。著名的Cayley-Hamilton定理断言方阵是其特征多项式的根,这是Cayley在其1858年的《矩阵论回忆录》中给出...

代数是如何发展到如此抽象的地步的?抽象难懂的代数概念有啥用?

而且在表明两个变换的复合是什么的过程中,显式地给出了矩阵乘法法则的例子。到19世纪中叶,凯莱开始研究矩阵本身,研究矩阵的理论作为一个数学系统本身就具有的性质。这样的思路最终被用代数理论来重新加以解释,发展成为线性代数和向量空间理论的独立的篇章。

宇宙起源的秘密,就藏在这个物理学理论里

这儿所说的“乘法”是广义的,并不限于通常意义上的乘法。实际上,群论中的“乘法”,只是两个群元之间的某种“操作”而已。这种“乘法”“操作”不一定可交换(或称对易),乘法可对易的“群”叫做“阿贝尔群”,不对易的“群”叫做“非阿贝尔群”。

超越三维空间的奇异数系:没有它,就没有现代代数

在实数系中3×2等同于2×3,但在四元数系中乘法顺序不可交换。尽管四元数确实有效描述了现实物体的转动,但数学家从未在数系中发现过这样奇特的性质。举个例子,把你的手机面朝上水平放置;让它向左转90°,然后向远离你的方向翻转,注意此时手机摄像头的朝向;然后返回最初的位置,先让手机向远离你的方向翻转再向左...

杨振宁先生的数学贡献丨庆贺杨振宁先生百岁华诞

在数学里,所有模长为1的复数组成一个群U(1)。这个群被称作外尔规范场论里的规范群。如果一个群里的乘法是可交换的,这个群就被被称作阿贝尔群,反之就是非阿贝尔群。例如大多数矩阵群都是非阿贝尔群,因为乘法交换律对于矩阵乘法不成立。外尔理论里的规范群是阿贝尔群,所以外尔理论是一个阿贝尔规范场论。