为什么发现个无理数,就引发了数学危机

而希帕索斯(Hippasus)正是在研究毕达哥拉斯定理时发现:正方形对角线与边长之比等于根号2,这是一个无理数,无法表示成两个整数之比,它的发现更是直接引发了第一次数学危机。发现了一个无限不循环小数,承认它的存在不就行了,为什么就引发数学危机了呢?原来,毕达哥拉斯学派对“数”持有一种信仰,而这种信仰的基...

一所中国大学的数学百年简史

你如果读过上世纪三十年代初版的脍炙人口的数学名人传记《数学大师:从芝诺到庞加莱》(MenofMathematics),就会从美国数学史家贝尔(EricTempleBell,1883-1960)的优美文笔下发现高斯怎样通过徒手计算重新发现了谷神星。当然,将数学一分为三的提法也有道理,不过我们不讨论它,只想如柯朗(RichardCourant,1888-1972)与...

盘点人类数学史上三次危机,最后一次危机至今没有得到解决!

随着数学的深入发展,集合论的诞生带来了新的视野,也引发了第三次数学危机。福尔蒂和康托的悖论,特别是罗素悖论,彻底动摇了数学的基石,挑战了人们对集合和逻辑的传统理解。罗素悖论提出了一个看似简单却深藏哲学诡辩的问题:一个理发师声称只给那些不能给自己理发的人理发,那么这位理发师是否应该给自己理发?这个问题似...

盘点人类数学史上的三次危机,第三次危机至今仍没有解决!

历史上,这样的危机共发生过三次,每一次都对数学界产生了深远的影响。从结绳计数到整数的朴素观念,数学一开始是人类用来描述自然界的工具。然而,毕达哥拉斯学派的直角三角形勾股定理,以及由此产生的无理数概念,第一次打破了整数的完美图景,引发了第一次数学危机。无理数的发现,不仅挑战了古人对数学的认识,更推动...

古怪烧脑的“理发师悖论”竟引发第三次数学危机,后来怎么样了?

人们认为数学的第三次危机尚未被完全解决,不过似乎是属于逻辑和哲学层面的问题,不太影响数学的发展。此外,数学史上的三次危机以及导致危机的悖论的根源,都与连续和无限有关,都是无限进入人的思维领域中导致思考方法之不同所产生的。第一次是从整数、分数扩展到实数,虽然整数和分数有无限多,但本质上仍然有别于(小...

盘点人类数学史上出现的三次危机,最后一个危机至今也没有解决!

在这种背景下,第一次数学危机就出现了,其中的代表就是芝诺悖论,相信很多人都听说过(www.e993.com)2024年11月13日。芝诺悖论是这样的。你和一只乌龟赛跑,由于乌龟跑得很慢,特意让乌龟在你前面100米的地方开始跑,也就是说,乌龟一开始就领先你100米,不过你的速度更快,是乌龟速度的10倍。

赫尔曼·外尔老师的数学研究风格

我们到底还是无法理解数学真正的基础、真正的含义是什么,数学与音乐一样,都属于人类创造性活动的产物,其成果受到历史发展的影响,因此我们很难客观对其进行合理化。——赫尔曼·外尔1949年9月,我接受了赫尔曼·外尔的邀请去了普林斯顿的高等研究院。邀请信上外尔老师的签名给我留下了深刻的印象。第一次在研究院...

如何用基础数学证明0.999...=1?无穷带给人类的困惑和深层思考

无限的概念,在人类数学史上确实给人们造成很大的困惑,甚至引发了三次数学危机。但时至今日,对于0.999...和1大小的问题,早就不是问题了。一句话:我们不能用有限的思维方式去衡量无限的概念!就好比“自然数和偶数哪个多?”的问题,由于自然数包括奇数和偶数,是整体与局部的关系,很多人会想当然认为自然数比偶数多...

经济学如何走到今天?——读《企鹅经济学史:从古希腊到21世纪初的...

经济学的历史上,曾经出现过强烈的整合倾向。第一次出现在1890年之后,当时的人们认为,亚当·斯密已经建立了这个学科的基础框架,剩下的事情就是填充细节。第二次是在杰文斯与瓦尔拉斯等人创新后,经济学家采取了“一切归于马歇尔”的态度。第三次是在1960年前后的新古典综合时代,人们可能会说,一切归于萨缪尔森,或者...

人类数学史上三次危机, 最后一个危机至今都没有解决!

而人们对无理数以及无穷概念的深入探索,也成功化解了人类历史上第一次数学危机,这次危机的化解,也让人类数学一直安静地发展了近2000年,直到牛顿和莱布尼茨的出现。说白了,也就是微积分的出现,引发了人类历史上第二次数学危机。微积分的作用可谓大大地,因为有了微积分,人们可以轻松解决之前被认为不可能被解决的问...