e 值的故事:从复利到自然增长的数学之旅

特别是当时,函数值、斜率都等于e。这一性质使得e在微积分中非常重要,因为微积分正是研究变化率和极限的数学分支。每当在涉及增长率和变化率的微分方程中遇到涉及e的计算时,通常会更加简单处理。自然对数函数和指数函数是互为反函数,这意味着它们在这条线上是对称的。e与π的联系提到e,我们通...

太精彩了!火柴人VS数学的这个视频我一口气看了无数遍…

出现了,无穷级数,这个表达式是指数函数在零处的泰勒展开e^(z)=∑{z^(n)/n!}带入具体值后获得对应形式,发射出去的实际上是各阶展开项的值,由于含有无理数π,所以是近似值。可以发现随着子弹射出,展开项的n也在增大,但是毕竟有无穷项,所以子弹是无限的。这个盾牌是四条弧形成的。长度8条弧的圆柱。...

关于数学里E的理解

e指数是z是一个复数=(cosy+isiny)当x=0时,有e指数是iy=cosy+isiny这个公式不是一个“等式”,它的来源涉及到“无穷级数”,只需要记住它是表示“复平面”位置的公式。不要想带入一个“角度”后,让等式两边的数量相等。这一点必须清楚。2022年5月21日星期六...

伟大的数学家欧拉和他的奇妙发现——关于倒数级数的和

泰勒级数的主题非常广泛,所以我不打算在这里详细讨论它,我将只讨论一种情况,即指数函数e的展开式。它是由:式3:指数函数的泰勒级数。它的收敛半径为∞,因此对于x∈??的所有值它都收敛。e^x的收敛半径R为R=∞。这意味着式3是一个幂级数,对于x∈??的所有值都收敛。图4:这个动画显示,当我们在式3中加...

通信原理板块——基础知识(二)

周期信号中三种傅里叶级数的展开形式注意：周期信号在数学上可以展开成傅里叶级数的狄利克雷条件。推导过程中用的了欧拉公式，如下：傅里叶级数的指数形式如下，其中角速度ω为2πf0需要注意的是F0是直流分量，由F(k)和F(-k)共同构成了物理上的谐波分量，也就是常说的双边谱。7、能量信号的频谱密度(1)...

简化再简化 收敛再收敛《张朝阳的物理课》讲解氢原子径向波函数

级数解法与递推关系解出能级与径向波函数为了解出R，类比上一节解勒让德方程的方法，张朝阳将R写成级数展开的形式：并将其代入到R所满足的方程之中，得到其系数所满足的递推关系：他介绍说，若这个级数有无穷多项，那么k可以取到无穷大，而当k很大的时候可以发现，R的展开系数的递推关系就与e指数的泰勒展开...

科学之谜:奇妙的数王国

该方程描述的是从任意起始点开始,天体运动的坐标与时间的关系。但要求得位置解,却非常棘手。数学家花了150年的时间才找到解决这一问题的方法。这个费力的过程涉及一长串的数学表达式,称为“级数展开”。然后,法国数学家拉普拉斯证明,当天体的轨道太扁时,这一方法将会失效。

如何计算前n个整数的p次幂的和?证明伯努利幂和

现在,S(n,t)的第一个因子可以用指数函数的泰勒展开式简单地写成幂级数:式6:指数函数的幂级数展开。式6左边减去1,两边同时除以x。要写出S(n,t)的第二项必须引入前面提到的伯努利数。式5中函数t/(e??-1)变成:式7:为了写出式5中S(n,t)的第二个因子,我们引入了伯努利数。

希尔伯特第八问题有望终结:黎曼猜想获证!

故导数f(非1/??2)时扩域出的“两类发散级数之和”构成交错级数,正负两部分的绝对值仅存同态关系,以上可由哥猜推论得到。可见是用哥猜获证做引理,证明了黎曼泽塔函数通项导数的生成元非1/??2时必无0点非平凡解,黎曼猜想获证。本文包括续篇是对希尔伯特第八问题的全面阐释,将囊括哥德巴赫猜想、孪生素数...