陶哲轩新论文“太反直觉”:再战Erd??s问题,证明44年数学猜想是...

在这之后,陶哲轩展示了一个新的变体结论:如果级数a??满足:a??????=O(a??)(即下一项不会比当前项增长太快)且∑(1/a??)收敛。那么可以找到b??,使得:b??=a??+O(1)(即b??与a??只差一个有界的常数)且∑(1/b??)是有理数。这又和Erd??s问题#264相关:其中a??=2k...

专题讲座03:竞赛、考研中的极限题与十二种数列极限计算方法与典型...

(2)取级数为,级数显然是收敛的。所以它的余项为由于级数收敛,余项当趋于0,所以由夹逼准则,得原数列不仅收敛而且极限值为0.10、利用级数收敛性判断极限存在对于某些数列的问题可以转换为级数的问题来讨论,比如教材中我们经常遇到的一个结论:命题:数列收敛的充要条件是级数收敛。正因为级数与数列的...

美丽而“无用”的莫比乌斯反演,解决了一类物理问题

下面考虑几个无穷级数,对它们进行“级数通项分组重排”的莫比乌斯反演手术时,需要保证运算正确,一个使得手术成功的充分条件是相关级数“绝对收敛”,一旦无穷级数出笼,这个假设将不加交代地给出。理由很简单:仅仅条件收敛的级数可以重新排列通项数列使得新级数改变其和。我们先考虑以博学家(polymath)兰伯特(JohannHeinrich...

“纪念量子力学诞生一百周年”系列:经典再现与评述

直观地,可以这样阐释,系统对所有倍频振动的稠分布频率可共振。在量子理论公式中,在倍频位置上出现的是频率满足完全不同的分布律的量子跃迁;在从一个非常有限的nk的稳态发起的可能跃迁中,有一个最小的(量子论的)频率。由此,量子理论的级数(式33)的收敛性不会象对应的经典级数那样构成特别困难的问题。关于一阶扰动...

欧拉对“级数”的研究,发现了其他数学家几十年未能发现的结论

在级数理论研究中,欧拉还运用了一个原则:若级数的部分和是无穷小的,则级数是收敛的。这个原则看起来像柯西准则的非标准版,但却是以一种现代的方式来发现收敛级数与发散级数的差别。欧拉关于收敛级数的定义是不能令人满意的,欧拉也认识到这一点。因为欧拉曾研究过一些级数,级数的项越来越接近于,但和却趋于无穷,如...

发散级数怎样求和?

或言之,所给级数在切萨罗算术平均意义下的广义和为1/2(www.e993.com)2024年12月19日。之所以要举出上面这个例子,是因为十八世纪的瑞士人欧拉(LeonhardEuler,1707-1783)对这个级数也曾经给出和为1/2的结论。然而这位历史上最多产的大数学家玩起无穷级数来,有时玩得太自由了,因为他偶尔会自作主张地给幂级数在不收敛的点处赋上一值,上面...

级数的绝对收敛和条件收敛分析

无穷级数(简称级数)的考题类型主要有两个,一个是关于级数收敛性的判断或证明,另一个是关于级数的求和;在收敛性问题中有两个基本概念:绝对收敛和条件收敛,对这两个概念的含义和相关判别方法大家要理解和掌握,下面对其做些分析总结,供各位学子参考。从上面的典型例题分析可以看到,要判断或证明一个级数绝对收敛,只要...

为什么1+2+4+8+…=-1?关于无穷发散级数和的计算

发散级数的和通常在物理中有应用,如1+2+3+4+……,一般的思想是,如果一个物理情况由一个函数f描述,这个函数f由一个级数定义,它只收敛于一些不包括s的值集,那么f的解析延拓g有一些更大的值集(包括s),它与f密切相关,以至于g(s)可以有一些有意义的物理解释,即使f(s)没有定义。

欧拉常数——最神秘的数字,调和级数的产物,至今看不清它的面貌

假设有两个级数:那么,必须有:证明:首先,让我们回顾一下级数收敛的含义。现在,我们通过矛盾法构建一个证明:上面的最后一行意味着,对于n>N,a_n被限制在a_0的r邻域,b_n被限制在b_0的r邻域。形象地讲:上述情况表明:因此我们得出了一个矛盾的结论。因此,我们的假设(a_0...

考研数学无穷级数考查方式及备考提示

1)常数项级数的收敛与发散的概念,基本性质与收敛的必要条件;2)熟知常用级数的敛散性:主要包括几何级数、P级数的收敛性;3)能够识别数项级数的类型,具备综合利用性质和判别方法判断级数收敛性的能力;①判断抽象型级数的收敛性(2011年(3)题;2013年(4)题);...