从零开始推导幂法则,为什么深刻理解数学定义如此重要?

我们知道,x^4=x??x^3。如果我们知道如何求x和x^3的导数,以及两个函数的乘积的导数,我们就可以求x??的导数。出于这个原因,我们将证明积法则。我们要从导数的定义来证明积法则。首先,定义一个函数z(x)=f(x)g(x)。然后,z相对于x的导数。由于我们谈论的是任意函数,我们必须使用导数的定义。可能没...

奇妙的幂函数

在物理课上学习量纲的时候,我们知道,五种基本初等函数中的四种——指数函数、对数函数、三角和反三角函数,变量必须是“零量纲”的,比如y=e^x中的x就不能有单位,只能是纯数,当然公式可能是y=e^(at)的形式,其中t如果具有[时间]量纲,则a具有[时间]^-1的量纲。但幂函数不会受此限制,自变量就...

凝聚态物理的回顾与展望 |《物理》50年精选文章

在相变点附近,将体系的自由能展开为序参量的幂级数,再由对称性的考虑消去奇次项并作适当的切断。在对称相自由能的极小值对应于序参量为零处,在非对称相自由能的极小值对应于序参量不为零处。在相变点以下,自由能曲线的极大值在序参量为零处,而另一极小值在不为零处。朗道理论是唯象的,数学表述简明而物理...

泰勒级数的物理意义

y=x^100展开以后可以求x=1附近的0.9999的100次方等于多少,计算过程和结果不但更直观,而且可以通过舍弃一些高阶项的方法来避免不必要的精度计算,简化了计算,节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。在图像处理的计算机软件中,经常要用到开方和幂次计算,而QuakeIII的源代码中就对于此类的计算...

看得懂的数学之美:从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

现在等式右边已经完全展开了,我们可以看到平方项系数存在1/n^2(n为1、2、3...),这就是最终需要计算的巴塞尔问题。但左边还没有展开,我们现在还算不出该级数的最终结果。如果我们把等式左边的x移到右边,即产生了一个x三次方项,现在左边只剩下sinc(πx)。现在学过泰勒展开式的你知道要怎么解了...

希尔伯特第八问题有望终结:黎曼猜想获证!

当且仅当黎曼泽塔函数其通项导数为f(1/??2)时,经解析延拓后原集与扩域集之间存在共轭同构关系,级数中的正负“两类发散级数之和”其绝对值相等(www.e993.com)2024年11月23日。除了经线性空间的素数基底性质可判定,它与哥猜命题等价外,还可由洛必达法则判定,它与算术基本定理等价。故导数f(非1/??2)时扩域出的“两类发散级数之和...