为什么雨滴落下不会砸死人?《张朝阳的物理课》推导斯托克斯定律

这个等式的右边看起来还是二阶导,但与(1)式不同的是,这里的nabla算子▽是依次以叉乘的形式作用在后面的矢量上的,而(1)式是两个nabla算子以点乘成拉普拉斯算子的形式作用到速度矢量上,前者的两次求导操作是容易拆分的,后者要拆分的话比较困难,需要先作用一次导出二阶张量再求散度来缩并回一阶矢量。受到(4)式的启...

如何理解纳维尔-斯托克斯方程?《张朝阳的物理课》详解流体的动力学

总结起来,即一个一阶张量的协变导数,再升一次指标,得到的是梯度算符与该矢量的张量积的逆变形式。如果仿照求点乘,对两个指标进行缩并,即立刻得到散度的对应表达在下面的计算中,将反复用到这些“翻译”,在矢量微积分与张量分析间来回切换,以实现高效地推导与计算。(张朝阳回顾用张量语言表达矢量微积分的运算)纳...

张朝阳求纳维尔斯托克斯方程的特解

回忆矢量微积分中有这样一条公式而流体的质量守恒给出这里引入第三个假设:在速度比较小时空气是不可压缩的流体。这个假设在流速小于0.3倍音速的情形下通常是成立的。在不可压缩假设下,空气密度是一个常量,所以质量守恒导出速度场是无散的将(1)-(3)式联立,得到这个等式的右边看起来还是二阶导,但与(1)式不...

布洛赫电子的拓扑与几何

后者在参数空间里一个闭合路径上的积分就是贝里相位(Box1)。这个贝里相位是几何的，因为它的表达式不依赖于参数空间内的坐标变换，就像一条曲线的长度并不依赖于曲线方程用什么参数来表达。它还是物理的，因为它不依赖于本征波函数的相位如何选取，具有所谓规范不变性。BOX1贝里相位考虑一个由哈密顿量描述的...

电磁学中的格林函数

公式(2)更为严格的推导，可利用自由空间的标量波动方程与标量格林函数的定义[1，2]：这里，k0=ω/c是自由空间的波数。将公式(3)乘以电位φ(r')减掉公式(4)再乘以格林函数g(r,r')，然后对源r'积分；考虑到拉普拉斯算符??2是对称算符(无穷远处边界上的面积分为0，即索末菲辐射条件)，便可得到...

如何证明散度定理与高斯定理?《张朝阳的物理课》讲解矢量微积分

泊松公式又是如何推导出来的?7月1日中午12时,《张朝阳的物理课》第六十七期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先简单介绍了矢量微积分中的一些基本概念,包括标量场、矢量场以及一些重要的微分算子等,随后利用简单的几何方法证明了散度定理(www.e993.com)2024年11月20日。之后他以引力为例做矢量微分运算,对引力势求梯度得到...

算法中的微积分:5大函数求导公式让你在面试中脱颖而出

要推导出函数f(x,y,z)=2+zcos(x)的梯度,需要构造一个矢量的偏导数:f/x,f/y和f/z,结果如下:需要注意,此处也需要利用公式进行等值转化,即2=exp(xyln(2))。总之,对于一个从映射到的三元函数f,其导数是一个从映射到的梯度f。从映射到(k>1)的一般式中,一个从映射到的多元函数的导...

匀速运动电子的电磁势是怎样的?《张朝阳的物理课》介绍推迟势的积分

怎么借助这个例子的电磁势验证电磁势构成四维矢量?9月16日12时,《张朝阳的物理课》第八十四期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,先给网友们复习了麦克斯韦电磁理论与狭义相对论的联系,然后通过直接积分求出匀速运动电子的电磁势,并利用电磁势验证了它作为四维矢量的洛伦兹变换关系。

改变人类文明的最美公式:麦克斯韦方程组

例如,第二对方程把和联系在一起,任何数学家都会立即尝试推导出只包含和只包含的方程,因为这样我们就可以分别专注于每个场了。相比于它恢宏的结果,这个任务简单到了荒谬的程度——如果你对矢量微积分有一定的了解的话。我把详细的步骤放在了注释里,但简要的总结如下。依照直觉,我们从第三个方程入手,它将的旋度和的...

麦克斯韦方程组公式及其意义

考虑球对称性,高斯定律的积分形式为:因此电通量Ψ=Qenclosed/ε0这里包含的Q表示表面内所有电荷的矢量和。包围电荷的区域可以是任何形状,但要应用高斯定律,我们必须选择一个对称且电荷分布均匀的高斯表面。高斯表面可以是圆柱形或球形或平面。