区间的定义和应用场景是什么?它在数学和统计学中有何重要性?

简单来说,区间是指介于两个特定数值之间的所有数值的集合。区间可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。开区间用小括号表示,如(a,b),意味着不包含端点a和b;闭区间用中括号表示,如[a,b],包含端点a和b;半开半闭区间则是一端包含端点,另一端不包含,如(a,b]或[a,b)。

数学悖论系列之六(选择公理的悖论)

当我们说我们可以证明某些集合的存在时,我们的意思是这些集合存在于ZFC的所有模型中。更一般地,当我们用集合中相关对象的给定构造来证明一个定理时,我们的意思是这种构造可以在ZFC的所有模型中进行,并且相应的定理对于ZFC的所有模型中的这种构造都是正确的。从历史上看,ZFC被表述为一种定义集合论的方法,这种方法避免...

什么是束sheaf(层)?

(即如果你绕着莫比乌斯带走,你的上、下概念最终会翻转,从而使你无法定义。)数学家称这些对象为“扭曲函数”(twistedfunction)。虽然每个层都是一个庞大的对象集合,但你也可以考虑给定数学对象(实轴、圆或其他实体)上所有层的集合。这就像考虑可以在给定的土地上种植的所有可能的花园一样。这告诉你一些关于那片...

数学悖论系列之五(无限大的悖论)

有限集(也叫有限集合)是包含有限个元素的集合,有限集S的元素的个数称为S的基数,记为|S|。当我们面对“无穷”问题时,要依靠理性的论证,而不是直觉和常识来认识无限。判断两个有限集合中元素的“多少”,所采用“数数”的方法——就是建立“一一对应”的映射的过程。这种方法可以进一步推广到无限集合,为此数学家...

MLP一夜被干掉,MIT加州理工等革命性KAN破记录,发现数学定理碾压...

3、每个样条函数是基于G个区间(G+1个网格点)定义的,k阶(通常k=3)所以KANs的参数量约为作为对比,MLP的参数量为O(L*N^2),看起来比KAN效率更高,但KANs可以使用更小的层宽度(N),不仅可以提升泛化性能,还能提升可解释性。KAN比MLP,胜在了哪?

导师说的这些学术名词怎么像是搞黄色,我听完都黄了…

虽然这个概念的定义相对复杂,我会简单介绍一下(www.e993.com)2024年11月11日。在内射对象以及相关的数学概念中(比如内射模、内射分解等),"内射"在英文中对应的单词是"injective"。图源:维基百科有趣的是,"injective"在集合论中明明被翻译为"单射",表示函数的一对一关系,但在同调代数中却被翻译为"内射"。

数学悖论系列之四(概率悖论)

然而,悖论的原因是初始问题不确定;我们没有被赋予任何选择弦的规则,所以这为多种解释敞开了大门。但如果你仔细定义你的概率空间,那么悖论就不存在——“悖论”仅仅是当所讨论的集合无限大时,试图给“随机选择”的概念赋予一个有效意义的结果。很明显,许多计算答案的尝试都包括与某种真实世界情况相关的假设。这个...

第三次科学范式转移?

对此,我们既不能定义也无法推导出演化的相空间(phasespace)来。我们无法用基于集合论的数学来处理这件事。我们也不能为生物圈中不断出现的更新适应性的历时演化写出微分方程或求解出来。演化中的生物圈是牛顿范式之外的世界。目前来说,还没有找到包含所有事物的万物理论。我们面临的科学的第三次重大转变,超越了...

笔尖、尺子、桌面和房间有什么区别?数学家们对此思索了上百年

但是在这一时期,数学家们意识到,缺少对维度的正式定义确实是一个问题。格奥尔格·康托尔(GeorgCantor)最著名的发现是不同无限集合的大小是不一样的,或者说有不一样的势(cardinality)。起初,康托尔认为一条线段、一个正方形和一个立方体中的点集必然有不同的势,就像包含10个点的线段、10×10的网格点阵和10×...

“二向箔”其实并不存在丨《三体》里的数学问题

基于上述举例,我们可以类比地想象四维空间中的实体球长什么样了。如果用x,y,z和t分别表示四维空间中的四个坐标,那么四维空间中的实心球的也可以用下面的不等式来定义:x??+y??+z??+t??≤1。同样的,我们也可以假设其中的x,y,z就是我们所生活的三维空间的坐标,而t则代表了时间。那么,如果有一个人可...