埃尔德什追忆乌拉姆:他是神童,也是神叟
所谓U-分解(decomposition)是指把边的集合分割为形如并使得所有的图和都同构。如果G和G'的边数相同,那么上述分解一定存在。定义U(G,G')为最小的使U分解存在的n。令我们证明了在此问题以及相关话题上我们还发表了很多论文。这个问题可以推广到超图上,其研究至今仍然活跃。我们希望还能有...
追问daily | 无聊感的量化;游泳时可以进行脑电测量吗?GPT-4V在...
受试者被要求完成三种难度的计算任务(低、中、高),以诱导短暂的应激反应。在任务执行过程中,研究人员测量了脑电图(EEG)、心电图(ECG)和皮肤电活动等生物信号,并使用整合信息理论对这些信号进行了数学评估。结果显示,中等难度任务的整合度最低(表示应激水平最低),而低难度和高难度任务的整合度最高。此外,分析表...
所罗门诺夫:大语言模型的先知
KC(x)=min{??(p):U(p)=x}即输出字符串x的最短程序p的长度。柯尔莫哥洛夫这篇经典文章只有7页,而后面他写的几篇相关文章甚至更短。这与所罗门诺夫细致但冗长的文章形成鲜明对比。苏联数学家的简洁是他们的一大特色,据说那是因为苏联时期纸张紧缺,但另一种说法是苏联数学家(尤其是大家)就是不太...
几何在物理学中的妙用
例如O(n)群和SO(n)群对应着n维实数空间中的旋转对称,而U(n)群和SU(n)群则代表n维复数空间中的旋转对称。我们所身处的3维空间中,任何转动操作都可以拆解为绕x、y、z轴转动这三种基本操作的某种组合。也就是说,如果把SO(3)群自己也看作一个空间的话,维数恰好也是3维。可是SO(4)群却不同,4维空间中...
N体问题三百年——天体运行的数学原理
正象希尔伯特指出的,费尔马猜想的产生来源于纯粹的数学思维,而N体问题则来源于天体力学,对它的认识也有助于人类对自然界最简单的基本现象的理解。N体问题可以用一句话写出来:在三维空间中给定N个质点,如果在它们之间只有万有引力的作用,那么在给定它们的初始位置和速度的条件下,它们会怎样在空间中运动。最简单的例...
美丽的肥皂泡,背后的数学也很有意思
很显然,线性函数u(x,y)=ax+by+c是方程(1)的一个解,也就是说,平面是一个极小曲面(www.e993.com)2024年10月21日。当给函数u(x,y)附加一些条件时,我们能够得到极小曲面方程的两个非线性函数的特解。如果要求M是一个旋转面,那么函数u(x,y)可以表示成...
院士说丨席南华院士:数学的意义
数的发展历程也是很有意思的。最初是与具体对象相联的数,然后是抽象的数,进而是一般的数。每一阶段都依赖先前的概念和积累的经验。这也是数学概念形成的基本规律之一。几何的起源与发展类似于算术的情形。测量,计算土地的面积和容器的体积,谷仓的容积,水利工程等的实际需要导致了几何的产生和发展,包括长度,面积,体...
围棋中蕴含的数学原理 你都知道吗?
这一项也单调递增,所以整个式子是单调递增的。将N=18和N=19代入式子中,我们得到可见N=19时|△λ|取得最小值,即在十九路棋盘上行棋,双方的效率基本一致,使得取地与取势没有明显的优劣之分,这大大的拓宽了围棋的战术。所以围棋使用十九路棋盘不是没有道理的。
从马宁的观察谈起——反思数学在物理上的威力
但令人不安的是这个波函数并没有U(1)对称,更具体的讲,这个波函数并没有单一固定的电子数目,反而是由带有不同电子数目的状态所组合起来的。为什么U(1)对称与电子数目有关?答案在著名的诺特定理:数学家诺特(EmmyNoether)在1915年证明了一个系统的拉格朗日函数若具有某个连续对称,则这个系统就有个相对应...
AI已能求解微分方程,数学是这样一步步“沦陷”的
△N-S方程在计算机视觉中的应用(来源:YouTube)但是,作为一个存在度这么高的方程,却也因为非线性使得难以求解,并且连解存不存在都不知道!因此,目前普遍做法都是通过离散方程进行数值求解的。上面说到的这两个偏微分方程,是应用数学领域里面最常见的方程;也是接下来这些大神们用AI想要求解的主要方程;毕竟他们的...