为什么雨滴落下不会砸死人?《张朝阳的物理课》推导斯托克斯定律

这个等式的右边看起来还是二阶导,但与(1)式不同的是,这里的nabla算子▽是依次以叉乘的形式作用在后面的矢量上的,而(1)式是两个nabla算子以点乘成拉普拉斯算子的形式作用到速度矢量上,前者的两次求导操作是容易拆分的,后者要拆分的话比较困难,需要先作用一次导出二阶张量再求散度来缩并回一阶矢量。受到(4)式的启...

如何理解纳维尔-斯托克斯方程?《张朝阳的物理课》详解流体的动力学

而二阶张量需要用两个基底的张量积来展开,记为前面两节直播课上已经证明过,两个矢量的点乘即是两个一阶矢量的缩并矢量与二阶张量的点乘也可以类似定义不难看到,矢量与二阶张量的结果其实是一个一阶张量,也即一个矢量。再看矢量微积分中的导数运算。在矢量运算中,求导依赖于所谓的nabla算子。Nabla算子作用到...

法国的数学为何这么厉害?

纵观法国科学的历史,就会发现很多西方著名的数学家出自法国:从近代概率论的奠基人帕斯卡到数学大师傅里叶、拉格朗日,从解析几何之父笛卡儿到拉普拉斯方程的发现者西蒙·拉普拉斯,从画法几何创始人蒙日到概率论领域负有盛名的德蒙马特等等。值得一提的是,在17世纪至19世纪期间,法国在全球数学领域绝对称得上是佼佼者。德国...

长文综述:大脑中的熵、自由能、对称性和动力学|新春特辑

在数学上,这可以转化为两个与不同时间尺度相关的流分量:第一,低维吸引子空间包含一个流形M,其在快速时间尺度上吸引所有轨迹;第二,在流形上,结构化流F(·)规定了慢时间尺度上的动力学,在这里,慢是相对于快速动力学向吸引流形崩塌的过程而言的,见图2。为了紧凑和清晰,设想在任意给定时刻t,系统状态由N维状态向量...

究竟什么是科学?——从牛顿《炼金术手稿》谈起(中) | 文一

定律2:运动的变化正比于外力,变化的方向沿外力作用的直线方向。定律3:每一种作用都有一个相等的反作用;或者,两个物体间的相互作用总是相等,而且指向相反。牛顿通过这些基本定律和卓越的数学分析技巧,在《自然哲学的数学原理》的第二章中直接推导出了以下关于大自然一切沿曲线运动的物体所必须遵循的力学规则的命题...

你的公司有没有偏离规模法则?中美对比、企业评估与生长预测

在深入研究企业发展过程中,张江教授团队运用了规模法则来探索营业额的统计规律(www.e993.com)2024年11月18日。针对某一特定年份,以企业的雇员数量作为横轴,公司的总销售额作为纵轴,并对这两个变量进行对数处理,便可以得到一张反映中国和美国上市企业“员工数-总销售额”关系的散点图。

...效祖国的要抓紧啊,不然国家就跑到前面去了——谨以此纪念两个...

6月5日晚，回去上网找了神舟十四号发射时的录播：10时44分，搭载神舟十四号载人飞船的长征二号F遥十四运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射；577秒后，船箭分离，载人飞船进入预定轨道，帆板顺利展开发电，飞行乘组状态良好——最后，当然是发射场区指挥部的指挥长出来仪式性宣布成功，大家热烈鼓掌了。我一开始并没认...

从拉普拉斯矩阵说到谱聚类

现在把的定义式代入上式,我们将得到一个非常有趣的结论!推导过程如下:是的,我们竟然从推出了RatioCut,换句话说,拉普拉斯矩阵L和我们要优化的目标函数RatioCut有着密切的联系。更进一步说,因为是一个常量,所以最小化RatioCut,等价于最小化。同时,因单位向量的各个元素全为1,所以直接展开可得到约束条件:且,具体...

地球在宇宙流浪,人类在地球流浪——天体力学的几个图像切片 |...

将两个天体扩展到多个是个很自然的问题,在数学上,这个问题叫:N体问题。其中最简单的是三体,就是刘慈欣小说下的《三体》。但牛顿、欧拉和其他人在试图理解更多天体时碰到了困难。在没有计算机前,一般采用摄动法(级数展开,忽略次要部分计算)计算近似解。如1846年,法国教师勒威耶根据天王星理论轨道与真实轨道差别,计...

傅里叶变换、拉普拉斯变换、Z 变换的联系是什么?为什么要进行这些...

对上式进行拉普拉斯变换:该公式利用冲激函数的抽样特性,可简化为:引入,引入新的自变量Z,则上面的公式就变成这样了:这就是Z变换了,从上面的过程描述就知道Z变换与拉普拉斯变换的关系了。因此两者的联系也就是Z变换是拉布拉斯变换的离散形式。那么Z变换的意义在于什么呢?在数字信号处理以及数字控制系统中,Z变换提...