海森堡的魔法与矩阵力学的创立

动量和坐标组成了力学量的完备集,即所有经典力学量O(p,x)原则上可以表示成p和x的幂级数,都可以用矩阵来表示。把经典力学量O做傅里叶展开,。其经典傅里叶频谱和量子矩阵元的对应关系为根据矩阵乘法规则,所有力学量的时间指数因子都是一致的,即。力学量矩阵被要求是厄密的,满足Omn=Onm*。p和x不对易,因此...

发散级数怎样求和?

今日,每一个学过初等级数理论的理工科大学生都知道上述幂级数的收敛半径为1,且收敛区域仅仅是开区间(-1,1)。所以欧拉用了错误的幂级数赋值法所得到的是发散级数的广义和。其实,如果他将-1分别乘以如上幂级数展式的两端,得到一个非幂级数形式的函数项级数然后再如法炮制地代入x=1,便有同一常数项级数的另...

生成模型架构大调查 生成模型的不可能三角

下面,我们首先讨论一个重要的易处理变体,即离散混合模型,然后考虑在数值上更简单的p(X)的替代展开式。4.1混合模型编码器对应于后验p(Z=k|X=x),其中每个代码k的概率表示x在相应分量中的隶属度。因此,当通过贝叶斯规则隐式定义编码器时,自动确保了自身一致性可能会让人惊讶的是,众所...

这些意想不到的包含π的公式,给数学研究增添了很多乐趣

公式变成了θ=arccos(x)。我们需要把所有的面积比加起来,有无穷个(面积比),因为x的每一个值都会给出一个这样的比值。但我们有微积分工具,可以对x从0到1积分得到所有比值的和。现在我们可以用分部积分法对arccos(x)求导,来证明arccos(x)的不定积分是xarccos(x)-sqrt(1-x??)+C。最后得...

驯服粒子物理学中的“无穷”,用数学方法解决最复杂的物理难题

自庞加莱时代以来,数学家和物理学家已经意识到还有其他类型的项,这些项是“超越所有阶”的,它们比最小的幂项还要小。这些“指数级小”的项可以采用e^(??1/x)的形式,例如,它们提供了丢失的信息。如果将它们包含在级数中,并采用合适的“重新求和”方法使级数变为有限,你就可以减轻部分(甚至可能是全部)的模...

大学高等数学:第二章第六讲高阶导数及n阶导数的求法

f^(3)(x)=3!f^2(x)f'(x)=3!f^4(x).由此可归纳证明f^(n)(x)=n!f(n+1)(x)(www.e993.com)2024年11月27日。列题2:求指数函数y=e^x的n阶导数分析:y'=e^x,y''=e^x,y'''=e^x,y^(4)=e^x,一般可得y^(n)=e^x,所以(e^x)^(n)=e^x列题3:求正弦函数与余弦函数的n阶导数...

以华人数学家命名的数学成果集锦

相当于幂函数的定积分公式□和逐项积分法则□他用“分离元数法”独立地得出了二项平方根的幂级数展开式□结合“尖锥求积术”,得到了无穷级数表达式各种三角函数和反三角函数的展开式,以及对数函数的展开式□在使用微积分方法处理数学问题方面取得了创造性的成就。垛积术理论主要见于《垛积比类》,写于1859～1867年...

泰勒级数的物理意义

的系数。泰勒级数,就是切线逼近法的非跌代的,展开式。泰勒公式怎么来的,其实根据牛顿逼近法就可以得到从1阶一直可以推导到N阶。假设f1(x)=f(x)-f(a),由牛顿逼近法有f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2,所以f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)^2...

看得懂的数学之美:从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

图6.当泰勒级数的数目不断增加,它最终将收敛于其表示的那个函数。图中黑色曲线代表sin(x)函数。其他曲线为其对应不同阶次的泰勒展开式,也就是最高次幂分别为1,3,5,7,9,11和13的多项式。我们还记得,需要找的是逼近sinc(πx)立方项的系数,图6中的7个泰勒展开式具有如下形式:...

高一数学诱导公式

公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα...