困扰数学家一个多世纪的难题,AI从生物学中找到线索
瓦西里耶夫不变量是通过将局部绞拧数矩阵的二元组、三元组、四元组……直到n元组相乘来计算的。顺便提一下,二阶瓦西里耶夫不变量也是康威多项式的二次项系数,这是一种我们之前提到的代数不变量。一个仍未被验证的猜想认为,能够通过积分计算的瓦西里耶夫不变量完备集可能就是长期寻求的完全不变量。我们很高兴地发现,...
线性代数学与练第05讲 矩阵的乘法及相关运算性质
正如函数的复合过程,变换关系(5.3)是先做变换(5.2)再做变换(5.1)的结果,我们把变换(5.3)叫做是变换(5.1)与(5.2)的乘积,相应地也把变换(5.3)对应的系数矩阵定义为(5.1)与(5.2)的系数矩阵的乘积,即两个系数矩阵乘积的结果是第一个矩阵的第一行分别乘以第二个矩阵的两列构成乘积矩阵的第一行,第一个矩阵...
为什么雨滴落下不会砸死人?《张朝阳的物理课》推导斯托克斯定律
这个等式的右边看起来还是二阶导,但与(1)式不同的是,这里的nabla算子▽是依次以叉乘的形式作用在后面的矢量上的,而(1)式是两个nabla算子以点乘成拉普拉斯算子的形式作用到速度矢量上,前者的两次求导操作是容易拆分的,后者要拆分的话比较困难,需要先作用一次导出二阶张量再求散度来缩并回一阶矢量。受到(4)式的启...
Transformer、RNN和SSM的相似性探究:揭示看似不相关的LLM架构之间...
左侧公式需要计算一个L×L矩阵,如果这个矩阵完全显现在内存中,复杂度为O(L??d),内存消耗为O(L??)。右侧公式需要计算一个d×d矩阵,复杂度为O(Ld??),内存消耗为O(d??)。随着上下文长度L的增加,左侧公式的计算成本rapidlybecomeprohibitively非常的高。为了解决这个问题,我们可以...
清华姚班本科生连发两作,十年来最大改进:矩阵乘法接近理论最优
传统的两个n×n矩阵相乘的方法——即将第一个矩阵中每一行的数字与第二个矩阵中每一列的数字相乘——需要进行n??3;次独立的乘法操作。对于2乘2的矩阵而言,这意味着需要进行2??3;,也就是8次乘法操作。1969年,数学家VolkerStrassen发现了一种更精巧的方法,只需7个乘法步骤...
线性代数学与练第04讲:矩阵的定义与基本运算
由560个像素点,纵向由390个像素点构成,每个像素点中存放的就是由、、三个颜色分类所占比例构成的数组,将它们分割后可以拆分为(红色)分量、(绿色)分量、B(蓝色)分量构成的三个的取值在范围内的实数矩阵,它们共同描述了这幅图像.将三个颜色的数据分离出来为三个矩阵,则三个矩阵表示图像如图2....
如何定量分析 Llama 3,大模型系统工程师视角的 Transformer 架构
M*K的矩阵A与一个K*N的矩阵B相乘后,就会得到一个M*N的矩阵。在后面,我们统一用@表示矩阵乘法,上面的例子我们也可以形式化表示为[M,K]@[K,N]。对于上述矩阵乘法,由于结果矩阵中的每一项我们都做了K次乘法和K次加法,所以对最终结果来说,总的计算量为2*M*K*N(其中2表示...
轻松、有趣的掌握梯度下降!
该方法通过将数据集聚类为更小的批量(通常在30–500个训练点数之间),并且模型对每个单独批量执行迭代。它通过使用高度优化的矩阵来提高效率和准确性,这有效减小了参数更新的方差。所有梯度下降变体都将使用以下公式进行建模。每当模型进行反向传播后,都会执行此迭代,直到成本函数达到其收敛点为止。
由南朝宋刘骏执政时期祖冲之修订历法看中国古代的科技发展-细品...
提出了勾股数问题的通解公式:若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦,则a??+b??=c??。在西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到3世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式,...
CPU反超NPU,llama.cpp生成速度翻5倍,LLM端侧部署新范式T-MAC开源
T-MAC是一种创新的基于查找表(LUT)的方法,专为在CPU上高效执行低比特大型语言模型(LLMs)推理而设计,无需权重反量化,支持混合精度矩阵乘法(mpGEMM),显著降低了推理开销并提升了计算速度。为增强设备上的智能性,在边缘设备部署大型语言模型(LLMs)成为了一个趋势,比如微软的Windows11AI+PC。