数字的魅力:数学中最重要的7个常数
虚数单位i:复数的基础虚数单位i是构建复数的基础,最初被引入是为了解决特定的代数问题,如方程x??+1=0。在实数范围内,没有数的平方为负数,因此需要虚数的概念来解决这类问题。解为x=i或x=-i。随着虚数的引入,数学家们进一步定义了复数,这使得所有的非零单变量多项式方程都有解。这...
席南华:基础数学的一些过去和现状
研究函子性猜想的重要工具是塞尔贝格-亚瑟迹公式。塞尔贝格迹公式1956年得出,与黎曼ζ函数的联系导致他引进了塞尔贝格ζ函数。塞尔贝格迹公式后由亚瑟在1974年至2003年间做出各种推广,它在数学物理中也有很好的应用。如同黎曼ζ函数,人们对一般的L函数在实部为二分之一的那条直线的值是很感兴趣的。对自...
美丽而“无用”的莫比乌斯反演,解决了一类物理问题
从算术函数f到算术函数g的函数值g(n),由于定义以及反演公式(I)只是通过有限和的形式表达的,我们仅仅用到莫比乌斯函数的因数和公式(1)就“初等地”证出了莫比乌斯反演公式(I)。用同样的方法可以证明,若f和g满足(I),那么它们也满足(*)。人们将g称为f的莫比乌斯变换(M??biustransform),而把f称为g的莫比乌斯逆...
虚数和实数哪个更真实?一文读懂
欧拉准确地计算出了e的表达式,他采用了一种特殊的无限级数(称为泰勒级数)并推导出了现在我们熟知的欧拉公式:这说明自然对数的底数和虚数存在着基本的关系。另外,你可以将这个关系化简为欧拉恒等式的形式:对某些人来说,这是一个近乎神秘的公式。这里我们有自然对数的底数e;数字0和1,它们都在整个数轴上有独...
很多人真正爱上数学,是从欧拉公式开始的,它到底有怎样的魔力?
两个复数相加对应的只是将它们的实部和虚部相加。例如,(2+3i)+(1+5i)=(3+8i)。复数的乘法可以用一种有趣的方式来形象化:它对应于旋转和半径的变化。在这里,-1的平方根是完全有意义的,因为我们已经扩展了乘法的定义。点i的角是90度,长度是1。所以,当点z乘以i时,相当于将点z旋转90度,并将长度扩大1倍...
17个改变世界的数学公式,马斯克点赞
公式:定义:如果a的x次方等于N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数(www.e993.com)2024年10月18日。对数方法是由数学家约翰·皮纳尔在1614年发明。但这个方法无论是放在当时还是现在,都具有重要意义,它的出现让许多繁难的计算成为了可能。也正因如此,在计算器和计算机出现之前,它持久地被用于测量、航海以及其他实用数学分支中。
数学史上最重要的事件之一——求解三次方程,复数的黎明
复数的黎明现在,我们知道这些方程的解是x轴和相应多项式的图形的交点。卡尔达诺发现了一个公式,即三次方程x^3-ax-b=0的正解,公式如下:其中a和b是正数。考虑方程x^3-15x-4=0。如果我们使用卡尔达诺公式,就会得到有趣的结果:在这个表达式中,我们看到了一些负数的平方根。当时,他们不知道...
一次数学比赛,诞生了数学上至关重要的概念
邦贝利(RaphaelBombelli),16世纪杰出的数学家,对于复数的运用领先于他的时代。图片来源:MacTutor邦贝利原本可以止步于此,因为该方程并没有实数解!然而,他有了一个疯狂而天才的念头,就是继续计算下去,就好像-121有平方根一样。他记下了,然后根据这个数得到了U和V,以及u和v。邦贝利发现,x=u+v能简化为x=4,验...
代数是如何发展到如此抽象的地步的?抽象难懂的代数概念有啥用?
这个问题用等价的代数语言来表述就是:对于哪些n、n次单位根可以对整数通过通常的算术运算和开平方(但不开更高次方)表示出来?这是高斯在他的《算术研究》里所讨论的许多问题之一。他最著名的结果之一就是正17边形可以用圆规和直尺作出来(也就是17次单位根可以构作出来)。在他的分析过程中,不但使用了类似于拉格...
百万悬赏的比尔猜想和久未解决的波文猜想为何都能用洛书定理完成...
五次方程无解是指在复数范围里无公式解,如果在复数前提下进行扩域那五次方程是否有根式解呢?伽罗瓦之后的数学家似乎没有尝试走这条路,因为超复数一直没有一套完善成熟的理论。倒是在如何判定无解的道路上发展得越来越完善。而判定整数域是否有解的一套方法则是数论的必杀技,每次数学是否要扩域都要回归数论,正...