这些意想不到的包含π的公式,给数学研究增添了很多乐趣

从上图可以看出cos(θ)=x,因为我们需要让x变化,所以需要反余弦函数,也就是arccos。公式变成了θ=arccos(x)。我们需要把所有的面积比加起来,有无穷个(面积比),因为x的每一个值都会给出一个这样的比值。但我们有微积分工具,可以对x从0到1积分得到所有比值的和。现在我们可以用分部积分法对arccos(x)...

大学高等数学:第六章第一讲泰勒公式1

由泰勒中值定理2可知,以多项式Pn(x)近似表达函数f(x)时,其误差为lRn(x)l,如果对于某个固定的n,当x∈U(xo)时,lf^(n+1)(x)l≤M,那么有估计式由(3-8)或(3-9)可得近似公式列1:写出函数f(x)=e^x的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式列2求f(x)=sinx的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式列3...

泰勒中值定理与泰勒公式计算思路与典型题分析

注1函数f(x)在x=x0的n阶导数存在,则可以写出该函数在x=x0处的n次泰勒多项式,但是泰勒多项式不一定会随着n的增加逐渐逼近函数在x处的函数值.注2只要存在常数C>0使当x∈(a,b)时,恒有|f(n+1)(x)|≤C(n=0,1,2,…)则用n次泰勒多项式Pn(x)来近似代替f(x)时,余项的绝对误差|Rn(x...

世界上第一个证明π是无理数的方法—高中生也能理解

麦克劳林公式是泰勒公式在x=0点的特殊形式。若f(x)在x=0处n阶连续可导,则下式成立:其中表示n阶导数且(0<θ<1)。因为y=sinx在x=0处具有任意阶导数,用麦克劳林公式在x=0处展开sinx,得到:同样展开cosx得到:▌证明过程第一步,兰伯特得到了tanx的连分数表示:第二步,兰伯特证明了,当x是除0之外的...

震惊!计算器里竟然藏着这样一个秘密!

Series[M-Sin[M],{M,0,10}]//InverseSeriesSeries[M-eSin[M],{M,0,10}]//InverseSeries早期解这个方程使用了关于离心率的麦克劳林展开。这不是个整函数,所以引入了所谓的拉普拉斯极限。超出收敛域的部分级数失效,级数反演则很好的解决了这个问题。