这本书做到了国内微分几何教材的天花板!读者:小说一般数学教材
顾名思义,球面几何可以理解为球面(如果是单位球面,记为S2)上的几何.我们可以将球面看作地球表面.在这个球面上,连接两点,类似于“直线”的是什么?是连接两点的最短路径!例如,你希望从伦敦乘船或乘飞机到纽约,最短路径是什么?古代的航海家已经知道了这个答案:最短路径是大圆上的一段弧,而大圆是通过球心的...
高斯的绝妙定理:现代微分几何的诞生
设曲面S上围绕在点p周围的一片面积为δA,它在上的像是围绕在点n(p)周围的一片球面,面积为.顺理成章地,δA在S的等距变换下是不变的。根据漂亮定理(13.1).也是不变的。因此,立即得到以下绝妙定理:实验。将香蕉的两端向里推,看看香蕉皮在点p处会发生什么变化:曲率半径ρ1缩小了(因...
Finsler 流形的 Gauss-Bonnet-陈公式
在1996年发表在AnnofMath杂志的工作[1]中,D.Bao与陈先生利用Finsler流形的著名的陈联络给出了另外一种Gauss-Bonnet-陈型公式,该公式对于Finsler单位球面的体积为常数的Finsler流形成立,推广了Lichnerowicz的工作,其中是流形上的具有孤立奇点的光滑向量场。是欧氏空间标准单位球面体积,是...
席南华:基础数学的一些过去和现状|黎曼|代数|数论|群论|拓扑学|...
欧拉公式本质上是说球面的欧拉示性数等于二。一个几何空间的欧拉示性数是通过空间的同调群定义的。球面当然是一个光滑的曲面。对于一般的光滑曲面,有高斯-博内公式,它把曲面的曲率和欧拉示性数联系起来,从而把微分几何与拓扑联系起来,非常深刻,对以后数学的发展影响很大。20世纪40年代,阿冷多尔费尔和韦伊把它推广到...
流形、微分几何与黎曼度规
这里,用我们开始时考虑3维球面的“外包”(extrinsic)方法来考虑d流形可能会更好,就是把一个d流形看作一个生活在更高维空间里的d维“超曲面”。纳什定理指出,所有的流形都是这样产生的。但是要注意,想找出一个简单的公式来定义这个超曲面并不总是易事。例如,2维球面可以用简单的公式...
最美的公式:你也能懂的麦克斯韦方程组
而球面的面积公式S=4πr(r为半径),它是跟半径的平方r成正比的,这也就是说:我们同一份能量在不同的时刻要均匀的分给4πr个部分,那么每个点得到的能量就自然得跟4πr成反比,这就是平方反比定律的更深层次的来源(www.e993.com)2024年10月20日。因此,如果我们生活在四维空间里,我们就会看到很多立方(三次方)反比的定律,而这也是科学家们...
麦克斯韦方程组,史上最美的方程!
而球面的面积公式S=4πr??(r为半径),它是跟半径的平方r??成正比的,这也就是说:我们同一份能量在不同的时刻要均匀的分给4πr??个部分,那么每个点得到的能量就自然得跟4πr??成反比,这就是平方反比定律的更深层次的来源。因此,如果我们生活在四维空间里,我们就会看到很多立方(三次方)反比的定律,而...
用了400年的地图居然是错的!
数学上有一个很强的结论:如果一个微分同胚既是保形变换,又是保面积变换,那么则此变换一定是等距的(也就是保度量的)。也就是说,地球仪上的南极洲投影到平面上,不可能既保持它的形状,同时保持它的面积(鱼与熊掌不能兼得)。??这是因为球面的度量与平面的度量之间不存在等距映射,这两者的度量是不同的。
竞赛大纲 | 全国大学生数学竞赛(非数学专业组)
3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数。4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系。5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算。6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量...