复数背后的直觉 - 从数学游戏到现实世界,助推人类的发展
最后,欧拉公式直接揭示了复数与余弦和正弦的联系,因此,当我们想描述任何类型的振荡时,它们很容易被使用。关于虚数的一个补充说明是,我们可以把一个实数与虚数单位i的乘法看作是在复数平面内逆时针旋转90度。i的乘法是复数平面内的旋转以数字1为例,考虑一下。这个数字与正实数一起位于右侧的实线上。1乘以i,你...
干货| 高中数学各知识点公式定理记忆口诀归纳!
中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。计算证明角先行,注意结构函数名,...
数字的魅力:数学中最重要的7个常数
虚数单位i是构建复数的基础,最初被引入是为了解决特定的代数问题,如方程x??+1=0。在实数范围内,没有数的平方为负数,因此需要虚数的概念来解决这类问题。解为x=i或x=-i。随着虚数的引入,数学家们进一步定义了复数,这使得所有的非零单变量多项式方程都有解。这样不仅解决了实数范围内无...
数学的极限之解析延拓,寻找数学世界中的奇点,窥视数学的本质
级数中的每一项都是前一项的平方:z^4是z^2的平方,z^8是z^4的平方。对于复数,将它们平方会导致它们与正实轴形成的角度翻倍。例如,复数i与正实轴形成90度的角度,所以将它平方就会将该角度翻倍至180度,将其放在数字-1上。在这种情况下,当z接近w,如果足够多次对w进行平方,最终将得到w^8,之后就会停在1,1...
美丽而“无用”的莫比乌斯反演,解决了一类物理问题
我们再将莫比乌斯反演公式用于一类多项式。多项式方程zn-1=0的复数解称为1的n次根,它们是记,则上述n个根可写成的幂次:,称其中幂次k与n互素的那些根是1的n次本原(primitive)根。本原根的一个等价定义为它是zn-1的根,却不是任何低次多项式zm-1的根。本原根具有性质:隐含n|l。
邂逅负数的平方根——复数的产生
因此,根据定义,所有不等于零的数的平方应该都是正数(www.e993.com)2024年9月8日。问题自然就出现了——一个负数的平方根是多少?我们知道,4的平方根(√4)是2(22=4)。是否也可以认为√4也可能是-2呢?因为(-2)2=4。到了16世纪,一些复杂等式的运算不可避免涉及了求解负数的平方根和立方根问题,数学家们则被迫开始解决这一难题。
很多人真正爱上数学,是从欧拉公式开始的,它到底有怎样的魔力?
事实证明,有了我们对i的定义,有了我们对cos、sin和e的幂级数定义,这个公式就非常合理了。复数乘法的几何定义不仅看起来很酷,而且惊人地将e的值与cos和sin联系起来。最后谁能想到呢!希腊人创造的描述圆上坐标的函数(cos和sin)与e有神秘的联系,一旦我们把数字扩展到包括负1的平方根,它就会向自身微分。
数学史上最重要的事件之一——求解三次方程,复数的黎明
复数的黎明现在,我们知道这些方程的解是x轴和相应多项式的图形的交点。卡尔达诺发现了一个公式,即三次方程x^3-ax-b=0的正解,公式如下:其中a和b是正数。考虑方程x^3-15x-4=0。如果我们使用卡尔达诺公式,就会得到有趣的结果:在这个表达式中,我们看到了一些负数的平方根。当时,他们不知道...
为什么要有一个数的平方等于-1?
平方等于-1的复数i的诞生1484年,法国数学家N.许凯(N.Chuquet,1445—1500)在一本书中,把方程4+x2=3x的根写为尽管他一再声明这根是不可能的,但毕竟是第一次形式上出现了负数的平方根。这种情形对于今天的初中学生,依然是一个望而生畏的禁区。
薛定谔方程引出过程中存在的问题及解决方案
成立的前提是E,P必须满足公式(1),而此式成立的前提是E,P必须是相对论性的。在非相对论情况下,算符和物理量之间的对应关系是否仍然可用?这是需要证明的,最起码也要给出一个合理的解释。第三个问题是,,是针对自由粒子的“平面波函数”而言的,原则上,只有在这种情况下才有这样的对应关系。如果能量...