当音阶在空间中翻转重叠,几何的结构性和音乐的结构性重合了
感谢《音乐与现代科学》(MusicandtheMakingofModernScience,byPeterPesic,2014)一书,为我们指出著名的欧拉公式F+V-E=2,[1]和那个并不太成功的音乐公式p+q+r-2,尽管二者应用于完全不同的领域,但有着奇妙的内在联系。之后,欧拉的特性数,X=V+F-E中的X,也被称为“度数”。不出伯努利所料,欧拉...
升维思考,降维行动
我们很容易想到,搭建一个5????5????4的三维模型,正好有100个位置放酒,如下:接下来(和二维解法差不多):让阿拉伯数字编号的1号侍卫(如上图,黄色),把黄色箭头这一面墙的酒每桶喝一口,一直到5号喝第5面墙;让汉字编号的一号侍卫(如上图,橙色),把橙色箭头这一面墙的酒每桶喝一口,一直到五号喝第...
为什么飞机不能沿直线从起点飞到终点?
众所周知,地球是一个近似椭圆球体的形状,在赤道处略扁平,两端处突出。在三维空间中,两点之间的最短路线通常不是直线,而是沿着地球表面通过这两点的大圆的一部分。这样的大圆路径被称为“测地线路线”或“大圆路线”。也就是说,飞机沿着“测地线路线”行驶,正是两点间最接近最短距离的路线了。该路线在平面地图上...
线性代数学与练第02讲:线性代数基础|向量|方向|三元|实数|方程组...
(1)两点式方程:当时,,其中是位于直线上的两点;(2)点斜式方程:,其中为直线上一点,为斜率;(3)斜截式方程:,其中为直线在轴上的截距,为斜率.(4)一般式方程:,其中.两直线的位置关系也可以通过两直线方程构成的方程组来研究.如果方程组有唯一解,则表示两直线相交;如果方程组有无穷多...
前沿进展:线性随机迭代系统的精确因果涌现理论
在优化确定性涌现和简并性涌现后,我们可以找到与最优解相对应的两个解集。因此,两个解集的交集是对应于因果涌现的最大程度的W的解集。在二维平面,最终的解空间可以表示为一个椭圆与一条直线的两个交点。在三维空间中的特定情况下,解空间该是解析几何中一个平面和球的交线,即一个圆。
伊藤清:数学究竟是一门怎样的学问?
欧几里得就构成平面图形的基本元素,也就是点和直线进行了思考,并尝试从“过两点有且只有一条直线”“两条直线要么平行要么相交”这种无须证明的性质出发推导出图形所有的性质(www.e993.com)2024年10月18日。这是最初被体系化的数学,也标志着数学成为一门学科。现代数学依然沿袭着欧几里得的精神。
席南华:基础数学的一些过去和现状
研究函子性猜想的重要工具是塞尔贝格-亚瑟迹公式。塞尔贝格迹公式1956年得出,与黎曼ζ函数的联系导致他引进了塞尔贝格ζ函数。塞尔贝格迹公式后由亚瑟在1974年至2003年间做出各种推广,它在数学物理中也有很好的应用。如同黎曼ζ函数,人们对一般的L函数在实部为二分之一的那条直线的值是很感兴趣的。对自...
再聊“无用”的数学家,如何引领百年后的导航技术风暴
任意两点和球心可以确定一个大圆。这个大圆在这两点有两条弧,大于半圆的叫优弧,小于半圆的叫劣弧。球面上所谓的直线就是连接这两点且过圆心的大圆,劣弧就是在球面上"直线"。在这个基础上可推导出:球面上任何两条直线都不可能平行,也就是说,球面上过直线外一点,没有任何一条直线可以平行于已知直线。
融合领域,数学家们在老问题上走得更远
Greenfeld、Iliopoulou和Peluse已经证明httpsarxiv/abs/2401.10821,一个大的整数距离点集的所有点——也许除了少数几个异常点之外——必位于一条直线或圆上。“如果你想要一个所有点对距离都是整数的大的集合,那么圆形和直线是唯二的可能,”不列颠哥伦比亚大学的JózsefSolymosi(约瑟夫·索利米斯)说。他称...
世界最大工程项目——“沙特未来城”开建!中国承包商完成最大桩基...
整座城市将垂直分为三个部分:地面上为完整的步行区,没有任何公路,也没有汽车,绿荫环绕;第二层为商业空间等服务区。第三层位于城市最低层,是这座直线城市的骨干结构,属于运输货物和人员活动区域。超高速运输系统的规划让人们可以在20分钟内到达“直线城市”沿线的任何地点。