黎曼猜想的新突破

ζ(s)函数可以表现成无穷个无穷级数的乘积,每个无穷级数由一个素数的倒数的所有次幂的s次方的和构成。如此一来,ζ函数和素数之间的关系就出现了!不过,欧拉虽然发现了这二者之间的关联,但直到黎曼才揭示出其中的含义。黎曼想知道,如果代入ζ函数中的s是复数,情况会如何?复数可以表示为x+iy,其中x为实部,y为虚部。

黎曼猜想(二)两个自然数互质的概率是多少?我不仅算起黎曼猜想,还...

数学家经常用大写的希腊字母Σ来表示求和,用大写的希腊字母Π来表示连乘。用这种表达方式,我们可以把欧拉乘积公式简写成下面这样:然后,我们给出了欧拉乘积公式的证明,它来自对算术基本定理的直接应用。欧拉乘积公式左边的无穷级数Σnn-s是一个以s为自变量的函数,可以记作ζ(s)(ζ是一个希腊字母,发音zeta)。现...

黎曼猜想(三)你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗?|科技袁人

如果离中心点x太远,幂级数就可能变成无穷大,也就是说发散了。对于y=x,它的收敛半径是无穷大,也就是说在任何地方都收敛,这当然是最简单的情况。让我们来看一个稍微复杂一点的情况,一个由等比数列组成的幂级数:请问,这个等比级数等于什么?学过等比数列求和的同学,立刻就知道它的前k项加起来等于现在我们...

看得懂的数学之美:从青年欧拉对巴塞尔问题的解法说起

现在等式右边已经完全展开了,我们可以看到平方项系数存在1/n^2(n为1、2、3...),这就是最终需要计算的巴塞尔问题。但左边还没有展开,我们现在还算不出该级数的最终结果。如果我们把等式左边的x移到右边,即产生了一个x三次方项,现在左边只剩下sinc(πx)。现在学过泰勒展开式的你知道要怎么解了...

学习欧拉吧,在任何意义上,他都是我们所有人的大师

可计算出e≈2.71828,以及与之相关的指数函数e^x的表示形式。在引论中,欧拉将一些人们熟知的函数写作无穷级数的形式。他认为,任何一个函数(例如)都可以展开为的幂次数列。在当时,牛顿、莱布尼茨和其他数学家已经对以下展开式非常熟悉:以及三角函数的展开结果,例如:...

从全局考虑宽窄系统论 | 酒业宽窄论⑨

Zeta函数是关于s的函数,其具体的定义就是自然数n的负s次方,对n从1到无穷求和(www.e993.com)2024年12月19日。因此,黎曼Zeta函数就是一个无穷级数的求和。然而,遗憾的是,当且仅当复数s的实部大于1时,这个无穷级数的求和才能收敛(收敛在这里指级数的加和总数小于无穷)。为了研究Zeta函数的性质,黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓...

相亲结婚,数学教你找到最佳伴侣_澎湃号·湃客_澎湃新闻-The Paper

在回答这个问题以前,我们需要对e的性质有更多的了解。如同它的超越数兄弟π,e有无数多种表达方式,比如写成无穷级数的和,无限多个数的乘积,无限序列的极限,以及一个惊人的正则连分数等等。我还记得第一次学习e的情景。那时我们在中学学习普通对数,我惊叹于如果把所有数表达为10的分数次方幂,它就能够将复杂的乘法...

3月14日“π日”:我们总是与π这个数学常数不期而遇

图7.(左)正切tanx=a/b;(右)当x=π/4时,它的正切为a/a=1。现在,让我们考虑正切函数的反函数,通常被记为y=arctanx。它表示“还原”正切函数,也就是说,如果y=tanx,那么x=arctany,因此有arctan1=π/4。玛达瓦和格雷戈里发现了关于arctany的无穷级数:...

一文搞懂黎曼假设,解析数论的里程碑,质数理论的珠穆朗玛

代入n=1,得到一个发散的调和级数。然而,对于所有n>1,级数是收敛的。欧拉积公式欧拉证明了ζ函数与质数之间的第一个联系,对于n和p两个自然数,其中p是质数:欧拉积公式,其中n,p都大于零且p是质数这个表达最早出现在1737年的一篇题为《关于无穷级数的观察》的论文中。这个表达式表明,ζ函数的和等于...