集合论新公理探究的哲学思考

这种困惑显然与预设客观存在的集宇宙有关,但我们也应该注意到,尽管哥德尔提到了“可设想的集合论对象”,但事实上他更侧重于在数学直觉的认识论上,而不是像人们通常认为的基于柏拉图主义的实在论立场,支持寻找新公理。二、新公理纲领的实在论辩护20世纪60年代至80年代期间,一方面,人们寻找新公理解决CH等独立性命题;...

数学、逻辑、AI、智能与世界

数学使用符号来表示概念和关系,这些符号具有清晰的定义和规则,通过符号化,数学家能够准确地表达复杂的思想和推理过程,从而简化了复杂的逻辑推理。数学的不同分支如逻辑学、集合论和证明论直接研究逻辑的结构和原理,这些分支不仅帮助确立数学的基础,也深化了我们对逻辑推理的理解。数学不仅仅是逻辑的简化,它也能够应用逻辑...

“氢弹之父”乌拉姆:我的朋友冯·诺伊曼(上)

依照冯·诺伊曼的定义,每个序数都是所有比其小的序数的集合,这就使序数的理论变得非常优雅,并且可以避免序型(ordertype)的概念,而序型在某种程度上是模糊的,因为公理集合论中与某给定序同构的所有序集并不构成一个集合(并不存在)。关于理想代数数的普吕弗理论(Priifer'stheory)的论文[5]4暗示了他未来研究兴...

史上最著名的数学悖论—关于集合论的悖论,引发了深层的数学危机

用符号来表示,设有一个适当定义的性质p,则必存在另一个对象,即集合{x:p(x)}。例如,相应于"是一个实数"这个性质,就有所有实数的集合;相应于“是一个序数"这个性质,就有所有序数的集合,如此等等。这就称为概括原理,它是对于集合的逻辑主义理解的基础,这样理解的集合论称为朴素集合论、虽然其朴素性是后来才...

全知全能的上帝是否存在?是否有一种真理能够解释一切?

上帝是否是全能全知的和集合论里的一个命题应该是等价的,这个命题就是存不存在一个集合包含所有的集合,这个集合就是最大的集合。当然这个集合是不存在的。有一个非常著名的命题,叫做连续统假设。它的实质,是比较有理数和无理数数量多少的问题。我们知道按照集合论的观点,全体有理数集合和全体自然数集合是等...

数学表达式一键变图,CMU开发实用工具Penrose,堪称图解界LaTeX

界面和基本功能我们首先来看Penrose的界面(www.e993.com)2024年11月6日。如下图所示,界面顶部是该工具的基本功能和选项。左侧第一个下拉框:表示用户试图转化的数学公式所属的领域,上图示例显示的是「集合论」(settheory);左侧第二个框:可供用户选择想要生成的图样式,上图选择的是维恩图(venn),用户可以点击该下拉框,选择自己喜欢的样...

金观涛:我的思想历程,1990-2021

20世纪哲学革命推翻了存在两种真实性结构的观点,但是这种立足于符号和经验关系的真实观是否成立呢?我必须重新审视哲学的语言学转向,才能对上述问题做出判断。我和波普尔一样,以前从没有从符号系统出发研究认识论。在某种意义上,整个20世纪只有系统论没受到哲学革命的波及,这使得"系统的哲学"能超越20世纪哲学革命设下的...

本体论视域下数学实在论的嬗变与评述

普特南认为,数学的客观性应当由数学的实在论加以解释。由于大部分的数学概念都可以借助于集合的概念得到定义,普特南就把那种直接肯定了数学对象存在性的观点称为“关于数学的集合—对象观点”。由于“集合—对象观点”基本上是一种柏拉图主义的本体论,因此普特南并没有简单地予以接受,而是发展起了所谓的“关于数学的模态...