数学悖论系列之六(选择公理的悖论)|巴拿赫|集合论|豪斯多夫_网易...

如果假设选择公理为真,则可以证明并非所有欧氏空间的子集都是勒贝格可测的,这样的集合的例子包括维塔利集合,以及豪斯多夫悖论、巴拿赫-塔斯基悖论假设的不可测集。2.ZFC公理集合论系统(ZFCaxiomaticsettheorysystem)(1)ZFC公理集合论系统有选择公理的集合论(ZFC),是一个公理系统,用于正式定义集合论。具体来说...

贾开:超越达特茅斯会议——机器智能的实现与治理|维纳|数学|...

但希尔伯特的数理逻辑纲领最终被哥德尔的不完全性定理否定,即使是更为正面的工作,如法国数学家埃尔布朗或波兰数学家塔斯基提出的一般性定理证明算法,也被发现过于繁琐以致实际上行不通。相比之下,计算化思想则为机器智能的实现提供了新的可能性。虽然公理化数学思想在现代数学中占据统治地位,但数学史上的多次重大跃进却...

“氢弹之父”乌拉姆:我的朋友冯·诺伊曼

他说,他们的公理化不能证明此形式系统不能推出矛盾,但即使朴素集合论在此意义上不能被完全严肃对待,至少它所包含的大部分内容可以重述为形式系统中的证明,且这些“形式化”内容可以被明确定义。冯·诺伊曼给出了集合论基础的第一个有限公理化,这些公理如同初等几何的公理那样具有简单的逻辑结构。公理系统的简洁性和...

塔斯基不可定义定理

塔斯基不可定义定理的回答是:没有任何L中基于N为真的式子定义出T*,亦即,没有任何L中基于N为真的式子使得对任何L中的式子A,有g(A)为真若且为若A为真。简单来说,这个定理告诉我们:我们不可透过任何形式算术本身的表达能力定义出这种形式算术中的真理概念。这指出了自指范围的主要限制。我们不可定义出extension...

人类真会被反杀吗?——赛博朋克悖论的真相

这在命题逻辑和谓词逻辑中是不难实现的,但是当语言丰富到包括极小算术的时候,塔斯基定理告诉我们,在这样的系统中,“真”概念不是算术可定义的,在这样足够丰富的语言中定义该语言的真谓词将导致悖论。这就给人工智能的“理解”戴上了一道紧箍咒:在简单的形式语言中,人工智能可以“理解”最基本的语义“真”,但是到...

“我这辈子真的有机会用到数学知识吗?”

另一只“怪兽”叫作巴拿赫-塔斯基悖论,它证明了一个令人难以置信的结论:一个实心球可以切分成5份,然后重新组合成两个和原实心球同样大小的新实心球(www.e993.com)2024年11月7日。肯定有人会问:如果真这么厉害,你为什么不拿金球去分割呢?答案很简单——真实空间不能像理想化空间那样可被无限分割——现实事物的本质与数学模型之间存在一定差距。

张卜天新译著《现代数学的概念》(世界科普译丛)

逻辑严格性提供了一种约束性的作用,在不安全的情况下或者在处理复杂的问题时非常有用。有些定理大多数专业数学家都相信必定为真,但除非得到证明,否则就是未被证明正确的假设,而且只能被用作假设。在证明某种不可能的东西时也需要特别注意逻辑。用一种方法不可能完成的任务用另一种方法也许可以轻松完成,因此需要非常...

语义悖论溯因——以“说谎者”悖论为例

根据朴素真理原则,对任意语句P,语句“[P]是真的”和语句P应该是等值的,可以相互替换或者相互推出。而塔尔斯基不可定义性定理告诉我们,在上述条件下我们无法一致地保持朴素真理原则成立。哥德尔的对角线引理和塔斯基的(算术真理的)不可定义性定理,是我们在讨论语义悖论过程中所必须要面对的重要结果。根据上述定理,我们...

维也纳学派中的数学家们

2.任何逻辑自洽的形式系统,只要蕴涵皮亚诺算术公理,就不能用于证明其本身的自洽性。他证明了在任何数学公理系统中自洽性和完备性都是不相容的,从而结束了人们一个世纪以来将整个数学大厦建立在公理化基础上的尝试。哥德尔不完备性定理是20世纪数学的一个里程碑和转折点,它表明数学并不是像人们想象的那样完美,...

数学史上10个备受质疑的伟大时刻,却开辟了数学发展新的方向

塔斯基不可定义定理塔斯基受到了哥德尔的启发,于1936年证明了我们无法在算术系统中定义何谓“算术的真理”。尽管塔斯基的发现也包含在哥德尔的成果之中,但可以说塔斯基所做的有更深远的哲学影响力。他成功得出了这样一个通用的结论,即:世上没有任何直译语言足以表达出它本身的语义。这个定理可被推广成适用于任何足够...