现实的模式|数学|算术|逻辑学|弗雷格|集合论|逻辑推理_网易订阅

尽管数学家通常更关心他们推理的数学回报,而不是其抽象结构,但要达到这些回报,他们必须将逻辑推理发展到前所未有的力量。摘自奥利弗·伯恩(OliverByrne)的《欧几里得元素的前六本书》(1867年)。公有土地一个例子是reductioadabsurdum原则。这就是人们通过假设结果不成立并得出矛盾来证明结果的方法。例如,...

为什么发现个无理数,就引发了数学危机

两千五百年前,他因为发现了世界上第一个无理数而丧命,他是有记载以来第一位为了真理而献生的人——希帕索斯(Hippasus),而杀死他的恰恰是他所加入的学术团体——毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派这是公元前500年左右,由古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)倡导成立的,集数学、宗教、政治于一体的秘密学术团体。...

俄罗斯数学天才称平行线可以相交,遭质疑郁郁而终,12年后被证实

这本书是人类公认的历史上最成功的教科书,甚至没有之一,全书包含5条公理,5条公设,23个定义和467个命题。其中我们最为熟悉的两条平行线不能相交,便出自《几何原本》。说白了,我们在课本上学到的所有几何知识,几乎都是从原本中演化而来,它指导了人类在数学史上数千年的时光,而这种光芒非但没有随着时间而模糊,...

陶哲轩全网悬赏“最强大脑”,AI+人类颠覆数学难题?凡尔赛网友已下场

例如,等式1可以推导出这个列表中的所有其他公理,而这些公理又可以推导出等式11。等式8作为特殊情况可以推导出等式9,而等式9又作为特殊情况可以推导出等式10。这些公理之间完整的推导关系可以用以下哈斯图(Hassediagram)来描述:这一结果特别回答了数学问答网站MathOverflow上的一个问题:是否存在介于常数公理(等式1)和...

数学悖论系列之六(选择公理的悖论)

(1)ZFC公理集合论系统有选择公理的集合论(ZFC),是一个公理系统,用于正式定义集合论。具体来说,ZFC是大约9个公理(取决于惯例和精确的表述)的集合,它们一起通过集合论的使用定义了数学的核心(见图57)。图57ZF这8个公理定义了一个一致的理论:ZF(当然,很难证明这个系统是一致的)。选择公理是集合论中的一...

20日线定义波段起涨的数学公理

选定20日线为波段模式的指标,我们就要来用20日线定义一条数学公理:当我们只用20日均线来观察市场时,任何指数或个股,一波连续的上涨都是从突破20日均线开始的(www.e993.com)2024年11月19日。可以去看任何一支个股,都是符合这条定理的,这是恒定不变的,但这条公理反推是不成立的,突破20日均线,不一定会连续上涨。

陶哲轩全网悬赏「最强大脑」!AI+人类颠覆数学难题?凡尔赛网友已下场

例如,等式1可以推导出这个列表中的所有其他公理,而这些公理又可以推导出等式11。等式8作为特殊情况可以推导出等式9,而等式9又作为特殊情况可以推导出等式10。这些公理之间完整的推导关系可以用以下哈斯图(Hassediagram)来描述:这一结果特别回答了数学问答网站MathOverflow上的一个问题:是否存在介于常数公理(等式1)和...

陶哲轩最新采访:AI将颠覆数学界!用Lean规模化,成百上千条定理一次...

20年前,我听说过机器辅助证明,当时它还是一个非常理论化的领域。每个人都认为,你必须从头开始——将公理形式化,然后做基础几何或代数,而要想进入高等数学,这超出了人们的想象。是什么让形式数学变得实用?变化之一是标准数学库的开发。尤其是Lean。有一个名为mathlib的庞大项目,所有本科数学的基本定理,如微积分...

有些数学命题是无法用数学方法证明的

哥德尔最著名的成果之一是他的不完备性定理,该定理表明,在任何一致的公理数学系统中,都有无法在系统内证明或反驳的命题,并且公理本身的一致性也无法证明。以下文章选自《科技群星闪耀时》1906年,库尔特·哥德尔(KurtG??del)出生,当时的数学领域看似已经几乎完备。数学领域的长期发展成果已被整理成几条公理,根据这些...

陶哲轩IMO演讲全文:一次性解决一千个问题,AI让数学摆脱蛮力计算

数学研究不同于数学竞赛，解决一个问题不止需要3个小时，而是需要几个月。有时，你解决不了问题，就必须改变问题。虽然在技巧上有一些重叠，但这与数学竞赛绝对不同。因此，AI的加入太令人兴奋了，而且具备变革性。但另一方面，这也是一种连续性。我们使用计算机和机器进行数学运算已经有很长一段时间了。即使做...