数学悖论系列之六(选择公理的悖论)
哥德尔不完备性定理无可辩驳地揭示了形式主义系统的局限性,他证明了,任何一组可以作为数学可能基础的公理都不可避免地是不完备的;总会有关于数字的真实事实无法用这些公理来证明。他还表明,任何候选公理集都无法证明其自身的一致性。哥德尔实际上告诉人们,任何想要为数学找到绝对可靠的基础,从而彻底避免悖论的种种企图...
在思想的极限……|康德|科学|牛顿|宇宙|认识论|本体论_网易订阅
哥德尔发现,在每个严格形式化的数学系统中,都有无法确认或反驳的陈述,即使它们来自系统本身的公理。形式系统的公理允许矛盾的可能性,正是这些矛盾构成了悖论经验的基础。哥德尔的基本见解是,任何规则系统都有一个自然的应用领域——但是当规则应用于与指导规则开发的结构不同的输入时,我们可以预料到会很奇怪。这正是...
是什么让他成为现代计算机之父?丨纪念冯·诺伊曼诞辰120周年(下)
它们被证明是布劳威尔不动点定理和以下几何事实的推广的结果:设S、T是两个分别包含在欧几里得空间Rn和Rm中的非空有界凸闭集,令S×T是两个集合的直积,V、W是它的两个闭子集;假设对于S的每个元素x,集合Q(x)={y:(x,y)∈V}是非空的凸闭集;类似地,对于T中的每个元素y,集合是P(y)={x:(x,y...
大发现!谷歌证明反学习,无法让大模型删除不良信息
公理是模型中的基本事实或特征,它们是构建更复杂概念的基石;定理则是基于这些公理推导出的结论,代表了模型对输入信息的理解和解释;派生则是从公理和定理中进一步推导或组合得到的知识,它体现了模型的推理能力。例如,考虑一个简单的动物分类模型。在这个模型中,"有耳朵"、"有眼睛"和"有尾巴"可以被视为公理,而"...
人机混合智能:新一代智能系统的发展趋势
(包含)与主观价值上的相容(包含)往往也不是一回事,于是世界应该是由事实与价值共同组成的,即除了数学部分之外,还有非数之学部分构成,科学技术是建立在数学逻辑(公理逻辑)与实验验证基础上的相对理性部分,人文艺术、哲学宗教则是基于非数之学逻辑与想象揣测之上的相对感性部分,二者的结合使人类在自然界中得以不息地...
生命相变必然涌现,而演化则不可预期
因此,我们不能使用集合论或任何基于集合论的数学:集合论的第一公理是外延性公理,(45):"两个集合相等当且仅当它们包含相同的11个成员"(www.e993.com)2024年10月20日。但我们无法证明发动机缸体的未列入清单的用途与螺丝刀的未列入清单的用途相同。更多选择公理也失败了。其含义是巨大的:我们不能使用任何基于集合论的数学——基本上全部数学—...
大国复兴怎样超越“李约瑟之问”
在数学知识积累到一定程度后,基于公理、定义、定理、演绎的方法体系,将不可避免的出现。事实上,《几何原本》就是如此,欧几里得的伟大之处在于把之前所有关于几何的知识,包括来自东方文明的知识,重新用一套公理体系组织起来。在经验科学技术方面,公元前5世纪《墨经》记述的小孔成像光学原理、杠杆和浮力平衡原理,春秋末...
公理、定理、推论是什么关系?中科院刘钝抖音导读《几何原本》
数学课上,公理、定理、推论等概念人们已经再熟悉不过,它们之间有何相互关系却很少被深究。7月22日晚8:00,中国科学院研究员刘钝做客《高山科学经典》抖音直播间,为网友导读了约公元前300年前的古希腊数学名著《几何原本》,介绍了其公理化的数学演绎系统及对后世的影响。
初中数学之8.3 基本事实与定理
1、人们在长期实践中总结出来的公认的真命题,作为证明的原始依据,称这些真命题为;运用基本定义和公理通过推理证明是真的命题叫;如果一个定理的逆命题也是,则称它是原定理的,这两个定理互为。2、熟记教材上彩色标记的八条基本事实。3、命题证明的依据命题证明的步骤:1)根据条件,画出图形,并在图形...
哥德尔不完备性定理的意义是什么?
而事实上,集合论的公理规定了如何自洽地给出符号系统。换言之,集合论用公理化排除了悖论,从此可以自洽地给出符号系统。在此基础上,在相应的符号系统中规定公理以得出不同的数学分支。这时,只要这些公理互相不矛盾,其一定导致符号组合的可能性空间(不确定性)减少。换言之,规定信息的确定性就会传递到该数学分支的整个...