数学悖论系列之六(选择公理的悖论)

一阶逻辑是一个逻辑系统,它包括逻辑公理和演绎规则的集合,而ZFC是根据一阶语言编写的公理的集合。一阶逻辑中的任何公理系统都被认为是自动包含了一阶逻辑的所有逻辑公理,所以ZFC可以说包含了更多的公理,也因此可以证明更多的东西。但由于哥德尔的不完备性定理意味着任何“合理的”公理系统都不可能是完整的,也就是说,...

美国学者称:可用简易方法证明费马大定理

这就是著名的费马大定理(也称“费马最后定理”);它用不定方程表示为X^N+Y^N=Z^N(其中X、Y、Z都是非零整数),当整数N大于2时此方程没有正整数解。费马还称自己“已有一个对此命题的十分美妙的证明,但这里空白太小,写不下。”此后的350多年间,虽然许多数学家及众多的业余数学爱好者试图解决费马大定理,并...

公理与定理的区别

定理:定理则是通过逻辑推理和证明过程形成的。数学家们从已知的真命题出发,运用演绎推理的方法,逐步推导出新的真命题。定理的形成过程体现了数学的严谨性和逻辑性。适用领域不同在应用上,公理和定理也各有其独特的功能。公理为数学理论提供了基础框架,它们确定了理论的边界和可能性。而定理则在这个框架内,通过逻辑...

陶哲轩最新采访:AI将颠覆数学界!用Lean规模化,成百上千条定理一次...

每个人都认为,你必须从头开始——将公理形式化,然后做基础几何或代数,而要想进入高等数学,这超出了人们的想象。是什么让形式数学变得实用?变化之一是标准数学库的开发。尤其是Lean。有一个名为mathlib的庞大项目,所有本科数学的基本定理,如微积分和拓扑学等,都被一一收录到这个库中。人们已经投入了大量的工作,...

席南华:基础数学的一些过去和现状

数学从理论上系统研究始于古希腊人,在公元前600年至公元前300年期间,代表人物有毕达哥拉斯、欧几里得等。欧几里得的《几何原本》采用公理化体系系统整理了古希腊人的数学成就,两千多年来一直是数学领域的教科书,其体系、数学理论的表述方式和书中体现的思维方式对数学乃至科学的发展影响深远。

袁亚湘院士:孩子对数学提不起兴趣怎么办?

因为数学也是个信仰,所以很多数学,包括集合论,都是基于公理的假设(www.e993.com)2024年11月11日。公理的确就是一种信仰,不管你承不承认,做研究的人就是在这些公理条件下,再去推结果。同不同意这个公理,认不认可这个公理,是另外一回事。不认可可以不跟他谈;如果认可,在这些公理条件下,能做哪些事情,这是最本质的。

【高中数学】立体几何公式总结大全

第三步:利用平行、垂直的判定定理、性质定理,证明所需要的结论.如:线面平行中需要寻找线线平行,可以通过联想三角形的中位线、平行四边形对比、梯形的两底、平行公理来完成.二、求空间几何体的体积答题模板传统方法求空间角的步骤:1.找角,利用定义准确找到空间角;2.证角,证明所找角是所求角;3.计算,...

陶哲轩最新访谈:人工智能将在几年内变革数学研究!

陶哲轩并不这么认为，因为数学的范围早已超出任何单一人类的认知。数学家们经常依赖他人已经证明的结果，他们大致明白其正确性，有某种直觉，但通常无法将其彻底还原至最基本的公理。他们知道在哪里查找答案，或者至少知道向谁求助。实际上，目前我们已经有了大量仅由计算机验证的定理，其中涉及巨大的计算量。这些定理理论上...

陶哲轩转发、菲尔兹奖得主领衔:AI正在颠覆数学家?

17世纪早期,苏格兰数学家JohnNapier构造了第一个对数表,他提出如果有更多“计算员”来帮忙,就可以进一步推进这一工作。另一个代表性成果是Felkel和Vega在18世纪70年代发表的整数因式分解表,这使研究素数分布成为可能,最终导致了素数定理的证明。早期电子计算机出现后,机器在高速计算方面已经远超人类,Computer一词的...

段学复:对中学数学教学的一些意见

我们要反对的,还有把几何亦即欧氏几何公理体系不是看成一种必要的基础知识和训练学生逻辑思维能力的一种有效工具(即所谓“思想的体操”,这种作用绝非“逻辑”课能代替的),而还看成有着很大发展前途的一门数学学科,并引导学生在里面去创造一些意义不大的新定理,甚至反而搞得限制了学生逻辑思维能力的发展,那就颇有...