有些数学命题是无法用数学方法证明的
哥德尔最著名的成果之一是他的不完备性定理,该定理表明,在任何一致的公理数学系统中,都有无法在系统内证明或反驳的命题,并且公理本身的一致性也无法证明。1906年,库尔特·哥德尔(KurtG??del)出生,当时的数学领域看似已经几乎完备。数学领域的长期发展成果已被整理成几条公理,根据这些公理,人们似乎可以几乎机械地证明...
公理与定理的区别
公理:公理是指那些基于人类理性、不证自明的基本事实。它们历经人类长期实践的考验,无需进一步证明的基本命题。公理,又称公设或基本假设,是数学体系中被认为无需证明、自明的基础陈述。作为构建数学理论的出发点,公理无法通过演绎推理来证明,因为它们本身就是证明其他所有命题的前提。公理的确立,往往基于其自明的真理性...
伊藤清:数学究竟是一门怎样的学问?
整个数学的基本要素是集合,基本性质是集合论的公理这一事实在20世纪已经被阐明。换句话说,数学从逻辑上来看就是集合的理论。引入集合论的康托尔最初也许并没有想这么多,但从结果来看确是如此。逻辑学中有内包和外延的概念。内包是一种性质,外延则是具有这种性质的事物的集合。将性质A和性质B的外延记为...
揭秘数学的语言:从定义到公理的逻辑之旅
与定义不同,公理(又称公设)是一个数学系统中被普遍认为是基础真理的陈述,而无需证明。公理是构建数学理论的出发点。一组公理能构成某个公理系统的基础框架,用于建立特定的数学理论。每个公理系统都试图以最少且最基本的假设出发,来构建整个理论体系。例如,欧几里得几何的五大公理、皮亚诺公理(Peanoaxioms)与集合...
集合论新公理探究的哲学思考
但引进的诸多新公理一直未能解决连续统假设问题,90年代后,有人对需要新公理解决独立性问题的观点提出了质疑。本文将着力于呈现当代国外有关新公理哲学讨论的发展及其重要观点,在此基础上表明,新公理的辩护和反驳都不应当忽略数学家的主观意向性与公理的客观有效性之间的密切联系。
席南华:基础数学的一些过去和现状
到公元前3000年,数学的应用范围就很广了,如税收、建筑、天文等(www.e993.com)2024年9月20日。数学从理论上系统研究始于古希腊人,在公元前600年至公元前300年期间,代表人物有毕达哥拉斯、欧几里得等。欧几里得的《几何原本》采用公理化体系系统整理了古希腊人的数学成就,两千多年来一直是数学领域的教科书,其体系、数学理论的表述方式和书中...
李德毅院士:人类的四种基本认知模式
思维的最高形式是数学,数学是人类自然语言的高阶形态,是建立在明确的公设定理体系之上的。通过数学反映万物,通过函数和泛函反映万物之间的关联,形成人类认知自然的一个飞跃。抽象的数学语言从无到有的形成过程很漫长。文字产生之初就开始发明数字符号,数和直线等基础概念的形成经过了漫长的时间,数学作为一种基于公理...
演讲直击|秦厚荣:数学与人类文明的演进
是微积分的发明使得所有物质运动的规律能够精准地通过数学公式被描绘出来,相关的原理为蒸汽机得到广泛使用打下基础。又如,第二次工业革命的代表性发明是发电机,因为电和磁之间的精确关系无法直接从自然界观察获得,所以发电机无法从一些自然现象中获得启发而被发明出来。在微积分被发明后,微分方程理论有了发展,科学家们...
李三清学者解析方向转向唯一对应变换 数学震撼新发现
空间的最基本元素:体,方向,转向,分别对应着三种物质状态:物体,电场,磁场。公理因果律:没有无缘无故的变换,都是因为作用。那么,赋予方向转向对应变换的原因:作用E造成的,这样,数学上的方向转向对应变换,自然过渡到物理上。电场的定义:1,电场∈存在,2,属性:方向性,作用E。
丘成桐:今日中国科教兴国、科技创新,必以数学为基础
欧氏公理影响了整个科学的发展。在物理科学上,引导了牛顿三大定律和现代的统一场论。在数学上,它使我们知道所发现的定理并非互不关联的事实,它们都可以由几条简易公理来推导。希腊学者在两千多年前已经为科学文明奠定了牢固的基础。数学家历来对欧氏公理有很浓厚的兴趣,其主要的原因是欧氏公理找到了平面几何的精髓。