数学的真谛:超越自然现象的理性思考

同理,我们可以数石头的个数,并且把它们按一定的规则摆放,来揭示一些理论结构,从而表示整数。比如,如果你有一定数量的石头,我们有时候可以把它们摆成长方形阵列,有时候却不行。这就形成了合数和质数的概念,最终引出了质数有无限多个,每个整数都能唯一地表示为质数之积这两个结果的形式化证明。古希腊人的数学基于...

为什么不能用 0 做除数?|整数|实数|同余|自然数|有理数_网易订阅

1.自然数,整数,有理数的构造1.1.自然数集.由无限性公理,我们可以自然导出以下无穷集合:,我们可以给这个集合中的元素命个名:就这样,我们就有了自然数集.我们用表示.1.2.整数集,可以按照以下等价关系构成商集当且仅当.其中加法为一般意义上的加法.容易验证这是一个等价关系.它在...

最高阶的无穷大,竟然是它——你能画出的曲线数

整数很多,可以到无穷。1、2、3……这理解起来没有问题。2比整数数目更高阶的无穷大——是一条线、一个平面、一个立方体中的点。要理解这个,我们要回一一对应。集合论的创始人康托尔,比对无穷时用的也是这个方法。康托尔把两个无穷的数进行比较。比如,奇数和偶数。一个奇数对应一个偶数,奇...

有趣的无穷:许多人弄不懂,是因为在用有限去理解无限

显然不对,因为我在用有限思维来理解无限。起初很多人都迷惑:无限数列改变计算方式,能得到很多答案,到底哪个对?柯西大神出来说话了:他说大家都忽略了一点,无穷不是一个数,它不确定,所以它不是总能被求和的。而且计算无穷数列时,加减乘除的四则运算法则不能用,你不能改变计算顺序。无穷虽然不能有确定的值...

2的平方根如何成为一个数字——译自量子杂志Quanta Magazine

康托尔的工作使他想知道有多少个数字存在。这个问题乍一看可能很奇怪。有无限多的整数——你总是可以继续加一。据推测,这与一组数字所能达到的一样大。但康托尔证明,矛盾的是,尽管分数的数量与整数的数量相同,但可证明无理数(比有理数)更多。他是第一个意识到有多种大小的无限的人。

无穷大是一个数吗?

无界性:实数是有界的,对任何一个实数大批可以找到比它更大或者更小的实数(www.e993.com)2024年11月18日。无穷大不是这样的;它没有界限,没有尽头,所以我们不能说有什么数比无穷大还要大,或者比无穷大还要小。实数的“有界性”是指实数集中的每个数都有上界和下界,而不是说每个实数的表示方式都有界限。

深度长文:数轴上随机砍一刀,砍到有理数的概率为0(建议收藏)

整数包括奇数和偶数,看起来整数应该比偶数更多,但实际上两者是一样多的,原因很简单,两个集合可以一一对应,每一个整数都有一个偶数与之对应,整数乘以2就是偶数,两者当然一样多了。如果你接受了“整数和偶数一样多”,自然就更容易接受“实数和无理数一样多”!

你苦背过的这串数字,至今仍“活跃”在多个领域!它魅力何在?

一个正整数的后面多加一个0,这个数立刻增长到原来的10倍;一个正数无论多么大,在它的指数位置上放上一个0,这个数瞬间变为1;一个很大的数,只要与0相乘,顷刻化为乌有;一个数无论多么合理,用它除以0,立刻失去意义,它非正非负,恰是正负数的分界点……众多性质集于一身。

上下求索之解码数学中著名的分形——曼德尔布罗特集合(下)

你可以在多大程度上做到这一点取决于你正在迭代的方程式。有时,你根本无法用系统的一小部分来描述其动态。或者,你可以使用重整化的显微镜将事物放大一倍、两倍或十倍,然后再达到一个点,你不能再对较小的尺度说出任何有意义的东西。但是对于与无限可重整化参数关联的函数,可以永远应用重整化。

千禧年大奖难题BSD猜想有了新进展:这些整数可以写成两个有理数的...

但是没有人能够证明这一点,甚至没有人能够估计属于每个阵营的整数比例。根据数学家目前的了解,与最初的猜测不同,真正可以写成两个有理数立方之和的整数阵营有两种可能的情况:要么能分解的整数非常少,甚至可以忽略不计;要么几乎所有整数都可以写成两个有理数立方和的形式。