黎曼对欧拉函数的研究,开创了数论的新纪元,极大拓展了数学深度

它是指将一个在某个区域内定义的解析函数(全纯函数)扩展到更大的区域,同时保持函数的解析性(即可微性和局部由其泰勒级数表示的性质)的过程。简单来说,解析延拓就是在不改变原有函数定义的情况下,将其定义域拓展到更广的区域。黎曼证明了一个很值得注意的事实,这件事实确定了高斯关于直到x为止的素数的数目的...

贝叶斯线性回归:概率与预测建模的融合|高斯|拟合|多项式|正态分布...

古代天文学家使用圆套圆模拟行星运动,与此类似傅里叶级数**将复杂模式分解为更简单的组成部分。傅里叶方法利用正弦和余弦波来近似不规则函数,这与本轮用于模拟行星路径的方式相似。通过调整波的频率和振幅,我们能够用简单的、重复的模式精确表示复杂行为,这与古代天文学家使用本轮的方法有异曲同工之妙。图3:傅里...

基于Hirota方法探求非零边界条件下 MNLS/DNLS方程的孤子解

考虑到Hirota双线性导数变化法探求非线性可积方程的孤子解的关键手段是将未知函数f，g展开为线性指数函数的级数，不失一般性，将f,g的各阶微扰项写作线性指数函数。对于形如的指数函数，从双线性导数方程仅能得到函数h(x,t)的辐角的变量前的参数ω1、k1的相关方程。式(27)正是这种形式，即无法从中得到f(0...

现代分析学之父魏尔斯特拉斯:他用一个函数挑战了整个微积分学界...

而这也为他搭建起数学史上行将演绎的一个轰动事件的舞台:魏尔斯特拉斯病态函数。数学家们早就知道,一个可微的(“光滑的”)函数必定是连续的(“不间断的”)函数,但是,反之不然。例如,一个像这样的V字型函数是处处连续的函数,但是它在x=0处是不可微的,它的图形在那里突然改变方向,形成一个拐角。然而,...

从小提琴中振动出的波动方程,成了支撑现代科技的基础理论之一

有两种方法可以解波动方程:伯努利方程可以得到正弦和余弦;达朗贝尔方程可以得到任意形状的波。起初,达朗伯特的解看起来似乎更一般:正弦和余弦是函数。但大多数函数不是正弦和余弦。然而,波动方程是线性的,所以可以把伯努利解组合起来。简单起见,只需考虑固定时间的波,摆脱时间依赖性。下图以5sinx+4sin2x??2cos6x...

数学史上创造的最强大的工具:傅里叶级数

函数的傅里叶级数:如果某个实变量x的函数f(x)在区间(c,c+2L)中定义并可积,满足Dirichlet条件,即:(www.e993.com)2024年12月19日。,f(x)是单值且有限,f(x)是分段连续的,最多有有限个不连续点,f(x)在区间内至多有有限个极大值和极小值,然后f(x)可以在这个区间展开成下列级数,称为Fourier级数...

数学建模中常用的30个MATLAB程序和函数

csch(x)双曲余割函数反双曲函数asinh(x)反双曲正弦函数acosh(x)反双曲余弦函数atanh(x)反双曲正切函数acoth(x)反双曲余切函数asech(x)反双曲正割函数acsch(x)反双曲余割函数求角度函数atan2(y,x)以坐标原点为顶点,x轴正半轴为始边,从原点到点(x,y)的射线为终边的角,其单位...

复合函数是初等函数吗

还有一系列双曲函数也是初等函数，如sinh的名称是双曲正弦或超正弦，cosh是双曲余弦或超余弦，tanh是双曲正切，coth是双曲余切，sech是双曲正割，csch是双曲余割。初等函数在其定义区间内一定连续。一个初等函数，除了可以用初等解析式表示以外，往往还有其他表示形式。如三角函数y=sinx可以用无穷级数表为y=x-x3...

不瞒你说,这可能是世上最美丽的函数

这可以用多种方法证明。一个很显然的路子就是用洛必达法则求极限。但在这里,我们用另一种方法。记得闭形式几何级数吗:这在|x|<1的情况下成立。注意,若把x替换成-x,就得到:现在我们可以对两侧进行进一步操作:假设n>x,然后可以做代换z=x/n:...

第39讲:《傅里叶级数及其收敛性》内容小结、课件与典型例题与练习

狄利克雷收敛定理:周期为的周期函数在一个周期上分段连续,并且在一个周期上只有有限个极值点和有限个第一类间断点,则函数f(x)的傅立叶级数收敛,并且有其中和分别为函数在点处的右极限与左极限.即在连续点处傅里叶级数收敛于函数本身;在间断点处收敛于该点左、右极限的算术平均值....