隐藏在日本家纹中的数学

图2是我对参考文献[1]中所有家纹设计的统计,其中Dn表示第n个二面体群,Cn表示第n个循环群。有的对称性非常罕见,我找不到一个例子是7重、9重和11重对称。对称性超过10重的设计要么是12重,要么是16重。可能对称度高于10重的设计并不多,因为这些设计往往印在直径1至2英寸的织物上,所以对称数高的设计在视觉上...

滴水映照大海:一元二次方程里的深刻学问 | 贤说八道

也就是说,商群必是一个素数阶群,而素数阶群必为循环群。可解群中的正规子群关于上一级正规子群的所有陪集必须为一个循环群。循环群是阿贝尔群,用一个生成元通过乘方(逆运算就是开方)就能表示。合成列的最后一个对象是单元素群,这说明借助循环群这表示是一路乘方(开方)进行下去的,代数方程可解性的关键就...

科学大家|保护信息安全的密码 背后的原理你真懂吗?

KeyGen:输入1^n,执行多项式时间算法输出一个循环群G,其阶为q(其中‖q‖=n),生成元为g。然后选择随机的x←Z_q并且计算h??g^x。公钥是(G,q,g,h),私钥是(G,q,g,x)。上述两个算法加解密的正确性能够简单地验证。在分析它们的安全性之前,我们必须明确攻击场景。根据敌手的能力,主要有以下几种攻击类型...

2021年丘成桐女子中学生数学竞赛获奖名单出炉!(附竞赛题)

(1)证明:是线性同构.(2)都是复数域上的阶方阵.定义矩阵证明:的全体特征值构成的集合是,和特征值构成的集合的并.题4.设是全体单位复数的乘法群,判断的有限子群是否一定为循环群,并说明理由.题5.对任意矩阵,定义.如果满足,其中是单位矩阵,称为单位正交矩阵.(1)...

伽罗瓦理论究竟想干什么?

例如,把红色线连接的小五边形看做子群(这是个阶循环群),如果它是正规的,那么从一个红色五边形出发的所有蓝色线段,都必须进入同一个陪集,也就是最邻近的另一个红色五边形。可惜这些蓝色线都进入了不同的红色五边形。事实上,这种每个局部小多边形都尽量与其他小多边形连接的结构,会使整体结构非常稳定而坚固,对群除...

抽象数学

若G是S5(其阶可被5整除)的子群,则G包括一个5阶的元素(www.e993.com)2024年11月4日。但须注意,鲁菲尼并没有形式化群的概念,甚至也没有形式化排列群的概念。下一阶段的工作由埃瓦里斯特·伽罗瓦于1832年写出,但直到1846年才被公布。当时他第一次考量到的是现在被称为排列群的“封闭性”这个概念,他的叙述为...

破解对称性的必备利器——群论

分别表示4阶循环群(Cyclicgroup)和8阶二面体群(Dihedralgroup,又名“墙纸群”)。这里需要注意注意,群的阶数表示它的元素个数,由于D_4有两个生成元(旋转和翻折两个动作),一共含有8个元素而非4个,有兴趣的读者可以自行验证。然而数学家们并不喜欢上面这种对于群的解读方式——用群这么...