数学悖论系列之六(选择公理的悖论)|巴拿赫|集合论|豪斯多夫_网易...

取位于0和1之间的实数,每个实数代表线段上的一个点,且每个实数都被分配零测度,这样我们将得到如下的点序列:1、1/2、1/3、2/3、1/4、3/5、1/5、…、(还有更多)…接着我们定义极限和,将其应用到从0到1的实数区间中的点,那样一来所得的可数无限集的测度大小为零。这就是我们熟悉的可...

有理数和无理数到底哪个多?

康托尔发现实数就不可数,甚至都不用考察全体实数,只需要考察(0,1)之间的实数,他将任意一个区间内的所有实数称为连续统。他用了反证法,假设0到1之间的实数能够与自然数一一对应,那就能列出这样两个数列:而自然数n对应的实数为Xn那么总可以在(0,1)之间找到一个实数b,b=0.b1b2b3b4b5…bn…使得b1≠X...

数学悖论系列之五(无限大的悖论)|伽利略|连续统|希尔伯特_网易订阅

康托尔在研究集合时得到的一个重要结论就是:实数集不可数。其实除实数集、无理数集是不可数集(图42)外,实数区间(0,1)、[-1,1]也是不可数的(图46)。图46(3)无穷集合基数的比较通过适当的投影以及推导两个区间之间的双射函数,可以证明任意两个区间[a,b]和[c,d]有相同的基数。也可考虑利用其他几何...

席南华:基础数学的一些过去和现状

有意思的一件事情是自然数集合和有理数集合等势,但与实数集合不等势。1874年,康托尔提出有名的连续统假设:实数集合的任何无穷子集要么与实数集合等势,要么与自然数集合等势。1940年哥德尔证明了这个假设与现有的公理体系不矛盾。20世纪60年代,科恩建立了强有力的力迫法,证明了连续统假设之否与现有的公理体系不...

无穷大有多大?

遗憾的是,事情并没有那么简单。我们早就知道,即便是无穷大,也有不同的大小。早在19世纪,德国数学家康托尔证明,至少有两种类型的无穷大。自然数序列(1,2,3……)是一个可数的无穷大;但还存在一个由实数组成的不可数的无穷大。后者的数量比前者的要多。所以后者的无穷大比前者的无穷大要大。

“中国第一,世界第二”,海信的40个“秘密”

在中国,百年企业屈指可数(www.e993.com)2024年11月10日。纵观全球,我们却看到,日本百年企业超过35000家,千年企业有7家,花王、TOTO等直到今天依然充满活力;德国处处是百年老店和数以千计的“隐形冠军”,它们用专注和永不盲从应对外界的变化,多元化的聪明往往会败给偏执的“专注”和“愚蠢”。

“氢弹之父”乌拉姆:我的朋友冯·诺伊曼

另一部青少年时期的作品是关于一致稠密数列的论文(用匈牙利语写作,而摘要是德语),文章证明了将一个稠密列重新排序可以得到一个一致稠密的序列。这项工作还没有显露其数学构想未来会有的深度,也不存在技术上的困难,但是该论文主题的选择和证明中技巧的简洁性预示着,他未来的研究将包含集合论直觉与代数技巧的结合。

这种无理数中的无理数,让数学家直呼“根本停不下来”

就在e被证明是超越数后不久,又一位数学家证明了无穷大的数其实有不同的大小,但有理数的无穷大与整数的无穷大相同。这样的集合被称为“可数无穷的(countablyinfinite)”。然而,实数和无理数的集合更大,是不可数的无穷大;与此同时,虽然代数数集包含所有有理数和无穷多个无理数,但它仍然是无穷大较小、可数...

三次数学危机其实都在解决同一问题:为何公度会屡碰天花板?

其实不同无穷皆有可数性质,这才是最彻底的实无穷观。而高阶实无穷不是一次极限能抵达的,须与潜无穷合作把一阶实无穷拯救出来。自然数的幂集不可数证明,是基于其中一类假设,还存在别的假设,也能深刻表达自然数的幂集思想。自然数与很多类型的实数都是可数的以及高阶可数的(可数分形),能用可数来度量不同数集...

一个困扰数学家30多年的分类问题,终于被解决了!

如果你按顺序数这些自然数,它们可以完整地排列,(虽然你要花无穷的时间)。自然数集合中的元素,或者它的“基数”,被标记为“aleph-zero”。数学家把任何与自然数无穷集大小相同的集合都称为“可数”集合。相反,实数(包括自然数、有理数和无理数)虽然也是无穷的,但它们却被归类为“不可数”。主要原因是实数太多...