有理数和无理数到底哪个多?

我们知道实数是由有理数和无理数组成的,而有理数是可数的(因为它能有序排列,其基数等于自然数),所以无理数必然不可数。数轴上排得密密麻麻(稠密的)的有理数,在无理数面前实在太稀疏了。这一幕仿佛《庄子》庖丁解牛故事里的“以无厚入有间”(来自《庄子??养生主》,原意为:用很薄的(刀刃)插入有空隙...

从自然数1到虚数i,数字系统的扩展

在有理数中任何数字都可以表示为两整数之比,即要么是整数,要么是有限小数或无限循环小数,然而古希腊毕达哥拉斯的弟子希帕索斯发现,通过勾股定理(西方叫毕达哥拉斯定理)计算,边长为1的正方形斜边无法用两个整数的比值表示(后续会有√2是无理数的证明文章,欢迎查看),引发了数学史上的第一次危机,当时人们认为这种...

0.999999...8是一个什么数?有理数还是无理数?

你问0.9999…8是有理数还是无理数,相当于默认了它是实数。但它压根不是实数。0.9999…8只不过是你根据“实数写成十进制小数后具有的一些直观特征”杂糅出的符号。是你对实数定义尚不明确的情况下将错就错的产物。或许这个问题的源头,在于高中对实数的定义有漏洞。这个漏洞就是:实数(即数轴上的点对应的数)...

席南华:基础数学的一些过去和现状

有意思的一件事情是自然数集合和有理数集合等势,但与实数集合不等势。1874年,康托尔提出有名的连续统假设:实数集合的任何无穷子集要么与实数集合等势,要么与自然数集合等势。1940年哥德尔证明了这个假设与现有的公理体系不矛盾。20世纪60年代,科恩建立了强有力的力迫法,证明了连续统假设之否与现有的公理体系不...

如何用基础数学证明0.999...=1?无穷带给人类的困惑和深层思考

但是,很多人潜意识里很难接受自然数和偶数一样多的事实,究其原因,就是因为很多时候,我们会下意识地用有限的思维方式去衡量无限的概念。再说一个相对高深的例子,实数是由有理数和无理数组成的,有理数和无理数都有无穷多个,你认为有理数和无理数谁多呢?

数学悖论系列之六(选择公理的悖论)|巴拿赫|集合论|豪斯多夫_网易...

我们看到,有理数集无法由表示稠密点构成的区间长度这种方法来表示其测量值(www.e993.com)2024年11月17日。标准解决方案是用连续实数集来表示长度(和其他类似量级)。取位于0和1之间的实数,每个实数代表线段上的一个点,且每个实数都被分配零测度,这样我们将得到如下的点序列:1、1/2、1/3、2/3、1/4、3/5、1/5、…、(还有更多...

p 进数:展开有理数,何必是实数

现在要对有理函数在无穷远点处做洛朗展开,其实就是把里的有理函数看作是是的函数,然后在处作洛朗展开。也就是因为这样的类似性,我们上面定义的判别式才写作。定义为了定义,我们首先得知道是什么。从逻辑上来说,第一个定义的应该是自然数,然后才是,但是这每一步是怎么来的呢?是由皮亚诺公理定义的,也就...

什么是实数?

什么是实数?这个问题对于任何一个学过初中数学的同学都不难回答:实数即是有理数与无理数的统称.但问题是,无理数只不过意味着“不是有理数”,我们没有定义这些数的真正含义.事实上,人类对于实数的认识过程并不是那么容易,今天我们就来和大家聊一聊实数——这个我们熟悉

这种无理数中的无理数,让数学家直呼“根本停不下来”

不过,就算知道了这个定律,大家还是没有找到π的确切表达,化圆为方难题仍然悬而未决。最终被证明:根本画不出事实上,解决化圆为方这个难题的关键,正是犹如之前数学家将实数分为有理数和无理数一样——需要将复数也分为两个集合。对于复数来说,其中许多都等于整系数多项式的根,数学家就把这个称作代数数。

人文数学的文化意蕴及价值意义

实际上,一部数学发展史,就是一道缤纷多彩的“分”的艺术景观,从最早的数形合一到代数与几何分开,再到后来的自然数、整数、有理数、无理数、实数、复数,从欧氏几何到非欧几何,从初等几何到解析几何、微分几何,从实变函数到复变函数,从三维空间到n维、高维空间……无一不是分的艺术。