为什么发现个无理数,就引发了数学危机

该学派还有另一个重要发现,就是毕达哥拉斯定理(Pythagoreantheorem),也就是我们的“勾股定理”:一个直角三角形,两直角边的平方和等于斜边的平方。而希帕索斯(Hippasus)正是在研究毕达哥拉斯定理时发现:正方形对角线与边长之比等于根号2,这是一个无理数,无法表示成两个整数之比,它的发现更是直接引发了第一次...

阿里数学初赛第三题里的稠密子集,数学抽象的背后是朴素 | 二湘空间

初中知识告诉我们,数轴上有两类点:有理数点和无理数点。相应地,平面上也有这样的几类点:xy坐标都是有理数的点、xy坐标都是无理数的点。它们都是平面的子集。有趣的是,这几类子集不像圆可以画出来,不过可以想象一下。好,现在我们可以直接面对稠密子集这个概念了。前面说过,平面上的点挤得要多紧有多...

最高阶的无穷大,竟然是它——你能画出的曲线数

2比整数数目更高阶的无穷大——是一条线、一个平面、一个立方体中的点。要理解这个,我们要回一一对应。集合论的创始人康托尔,比对无穷时用的也是这个方法。康托尔把两个无穷的数进行比较。比如,奇数和偶数。一个奇数对应一个偶数,奇数的数目和偶数相等,它们是等价无穷大,这没有问题。然而,...

波利亚的数学思想:解题是人类的最富有特征的活动

比如,“证明√2是无理数”和“证明素数有无限多个”就是这样的好题目,因为前者通向实数的精确概念,而后者是通向数论的门户。打开数学发现大门的金钥匙就在这类好题目之中。如果我们按照《“怎样解题”表》所规定的步骤去探索一个又一个好题目,我们就把金钥匙拿到了手中,并掌握了它的用法。《“怎样解题”表...

初中数学:常考知识点总结(数与代数、方程与不等式、函数等)

2.实数■无理数:无限不循环小数叫无理数■平方根:①如果一个正数X的平方等于A,那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A,那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算,叫做开平方,其中A叫做被开方数。

深度长文:数轴上随机砍一刀,砍到有理数的概率为0(建议收藏)

整数包括奇数和偶数,看起来整数应该比偶数更多,但实际上两者是一样多的,原因很简单,两个集合可以一一对应,每一个整数都有一个偶数与之对应,整数乘以2就是偶数,两者当然一样多了(www.e993.com)2024年11月17日。如果你接受了“整数和偶数一样多”,自然就更容易接受“实数和无理数一样多”!

这种无理数中的无理数,让数学家直呼“根本停不下来”

事实上,解决化圆为方这个难题的关键,正是犹如之前数学家将实数分为有理数和无理数一样——需要将复数也分为两个集合。对于复数来说,其中许多都等于整系数多项式的根,数学家就把这个称作代数数。每个有理数都是代数数,一些无理数也是,例如??3;√2,还有即使是虚数i,它也算,因为它是x2+1的根。

无理数的“谋杀案”

无理数怎么和谋杀案扯到一起去了呢?这件事还要从公元前6世纪的古希腊毕达哥拉斯学派说起……毕达哥拉斯学派的创始人是著名数学家毕达哥拉斯。他认为:“任何两条线段之比,都可以用两个整数的比来表示。”两个整数之比实际上包括了整数和分数。因此,毕达哥拉斯认为,世界上只存在着整数和分数,除此以...

无理数引发的第一次的数学危机,两千年后才平息!

起初他使用量的概念来描述无理数,能代表生活中诸如线段、角、面积、体积、时间等等这些能作连续变化的东西。其次,尤得塞斯定义量的比及比例,这种比例是两个比的一个等式。然而同样地,也不使用数字来表示这种比,比和比例的观念是紧密地与几何(可以想象为直线的长度)连在一起。

证明圆周率π是无理数很容易?人类花了2000年!

我们可以把实数分成两类:有理数和无理数。有理数是那些可以写成两个整数的比的数,例如:1,2,1/3,0.25(=1/4),0.929292…(=92/99)...这些数字要么本身是整数,要么等于两个整数的比,所以都是有理数。有时候,我们又把有理数分为三种,分别是整数、有限小数和循环小数。有理数有无穷多个,但是我们其实...