(连续)离散时间,周期信号的傅里叶级数表示.完全推导版

傅立叶级数的原理,周期函数都可以展开为常数与一组具有共同周期的正弦函数和余弦函数之和。其展开式中,常数表达的部分称为直流分量,最小正周期等于原函数的周期的部分称为基波或一次谐波,最小正周期的若干倍等于原函数的周期的部分称为高次谐波。因此高次谐波的频率必然也等于基波的频率的若干倍,基波频率3倍...

美国高中女生因数学竞赛,发现勾股定理新证明,论文已发《美国数学...

就这样,她们找到了至少5个不同的证明,比如其中一个证明就涉及几何级数求和。Ne’KiyaJackson和CalceaJohnson所以,是否存在「语义」方式,来区别这些证明呢?陶哲轩表示,理论上这种方式应该是存在的,因为在某些欧几里得几何的变种中,或许本文中的证明有的有效,有的无效,反之亦然。但即使有没有这种语义方式做区分...

美丽的数论世界——狄利克雷卷积与黎曼ζ函数的新发现

现在回想一下几何级数及其封闭形式:如果|x|<1,那么:再加上如果一个算术函数f是完全积性的,即f(nm)=f(n)f(m)对于所有的n,那么f(p^k)=f(p)^k。因此,上面的欧拉乘积在这种情况下有一个更简单的表达式。利用在素数乘积的每个因子中出现的几何级数的封闭表达式,完全积性函数的公式得到了以下值得...

不瞒你说,这可能是世上最美丽的函数

处理广义阶乘的现代方法就是Gamma函数。Gamma函数与刚刚的Π函数十分相似,定义如下:注意:对任何自然数n,有Γ(n)=Π(n-1)=(n-1)!。因此,Gamma函数也满足一个相似的函数方程:Γ(z+1)=zΓ(z)。所以Gamma函数是广义的阶乘函数,因为对所有的非负整数n,有Γ(n+1)=n!。但这是推广Gamma函数的唯一方...

1/2!是多少?世界上最美丽的函数——γ函数,数学皇冠上的明珠

我们将把指数函数写成极限形式并把它代入伽马函数的定义中。首先,回想一下:这可以用很多方法来证明。回想一下几何级数有一个封闭形式:如果|x|<1则成立。将x代入-x,得到:现在我们可以对两边做进一步的处理:假设n>x,那么我们可以代入z=x/n。

发散级数怎样求和?

不过,如果欧拉不用直接赋值法,而是对等式左端的函数1/(1+x)取时的极限,就得到与切萨罗广义求和算术平均法结果相同的另一种意义下的广义和将这个法子一般化,我们就得到了发散级数的第二个经典的广义求和法:对于给定的发散级数,形式地写出对应的幂级数(www.e993.com)2024年12月19日。假如这个级数关于满足不等式0<x<1的每一个数x都收敛(...

为什么1+2+4+8+…=-1?关于无穷发散级数和的计算

事实上,任何可蔡查罗求和的级数也是可阿贝尔求和的,它们的和是一样的。因此,阿贝尔可求和性更强。黎曼zeta函数正则化利用复值函数的解析延拓定义了一些求和方法。函数f的解析延拓是函数g,它定义在比f更大的集合上,它在定义域上处处可微。最具启发性的例子是黎曼zeta函数...

前美国数学协会会长戴维??M. 布雷苏:对微积分教学的思考

开始探究,要求他们利用二项式定理展开,然后探究当n增大时这个展开的性态如何,让他们发现这个公式与指数函数之间的关联.在学生的这个阶段,虽然一般的幂级数不及泰勒多项式重要,但常数项级数与几何级数非常重要.在数学中,几何级数几乎是无处不在的,而且当学生学习种种收敛准则时,几何级数是许多收敛准则的...

天才哈密顿,从四元数中构造出的代数系统,可以同非欧几何相媲美

在这一点上必须牢记,代数只讨论有限过程,当无穷过程进入时,例如当无穷级数求和时,我们就越出代数,而进入了另一个领域。强调这一点是因为通常的初等教科书标明的“代数”,包含许多并非现代意义上的代数的东西——例如,无穷几何级数。哈密顿在创造四元数中所做的事情的性质,在普通代数的一组公设背景下,表现得...

研究无穷级数的一种新方法,将一个(无穷)级数转换成另一个级数

在这个替换之后,我们实际上可以对两边的n进行求和,并且注意到:打开网易新闻查看精彩图片其中第一个等式是由绝对收敛性证明的。我们有:现在,回顾一下,余切函数有一个著名的级数表示:证明这个等式是一个非常好的练习。这个等式意味着:现在我们有: