数学之美的顶峰——高维球体的体积,最反直觉的“数学物体”

遵循这种推理方法,得出的是用于计算半径为R的n维球体积的以下多种积分:直观上,这代表了体积,因为这个多重积分是对所有可能的角度和半径进行积分。在某种意义上,它“覆盖”了超球体的整个体积——几乎与积分圆形或球体的方式完全相同。同时请注意,因为我们研究的是单位球,所以稍后代入R=1。现在,让我们开始逐步解开...

球的面积,球的表面积、体积公式,是怎么来的?感兴趣可以看看

看最后这个公式,是从a积分到b,而球体的面积则是从-r积分到r。代入到最后这个式子之后,就是球体表面积4πr??。体积呢?阿基米德是用浮力,计算相当复杂。还是硬算。把球体分成小切片,然后放到水中,观察水里每个小切片所占的体积和产能生的浮力,以及容易液体水位的升高。可见这个过程是非常复杂的,咱们没有...

“圆”来如此!小编也不懂|数学|高维|周长|比值|圆周率|无理数...

把自己紧紧“卷”成一个球用这样的方式团住温暖当我们感到寒冷的时候也会想要抱着膝盖、缩成一团这看似是一种生物学本能但其中却蕴含着一个巧妙的数学原理“同等体积下,球体的表面积最小”类似的情况在平面几何中同样存在“同等面积的图形,圆的周长最短”今天是3月14日是联合国教科文组织确定的...

推导球坐标系的体积微元 《张朝阳的物理课》验证均匀球体的引力可...

作为球坐标系的一个典型应用,现在计算质量为m的质点与半径为r的球壳之间的引力,质点与球心的距离为R,具体参数如下图所示:(张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力)张朝阳继续说明,“设球壳密度为ρ,半径为r的球壳上的小体积元质量为ρr^2sinθdθdφdr,其与质点的距离设为l,则球壳与质点m之间的...

学物理也要用到基础数学,《张朝阳的物理课》推导球坐标系体积元

作为球坐标系的一个典型应用,现在计算质量为m的质点与半径为r的球壳之间的引力,质点与球心的距离为R,具体参数如下图所示:(张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力)张朝阳继续说明,“设球壳密度为ρ,半径为r的球壳上的小体积元质量为ρr^2sinθdθdφdr,其与质点的距离设为l,则球壳...

一次性掌握微积分和线性代数两大神器,这本书做到了!

这个方程中最重要的部分是一个看起来像倒三角形的符号,它代表了向量微积分中的梯度算子(gradientoperator)(www.e993.com)2024年11月29日。压力函数,表示该点压力增加的方向和速度。这里的负号表明,流速的三维向量指向相反的方向。这个方程用数学术语说明了,流体从高压区流向低压区。

高斯狂想曲,非常强大的高斯积分(求解技巧)

高斯狂想曲,非常强大的高斯积分(求解技巧)高斯积分几乎出现在数学和物理的所有领域,甚至在你意想不到的地方。高斯函数和维中的球体的体积有密切关系。高斯积分很强大,我希望在阅读完这篇文章后,你会同意。高斯积分是以伟大的德国数学家卡尔·弗里德里希的名字命名的...

微积分的力量:世界被一个神秘的数学分支彻底改变了

更广泛地说,被微积分建模为连续体的实体类型,包含了我们能想到的几乎所有东西。微积分可以描述球如何不间断地滚下斜坡,光束如何在水中连续地传播,蜂鸟的翅膀或飞机机翼周围的连续气流如何使它们在空中飞行,以及患者开始采取药物联合疗法后,他血液中的HIV(人体免疫缺陷病毒)颗粒浓度在接下来的日子里如何持续下降。在每种...

第29讲:《定积分的元素法与几何应用》内容小结、课件与典型例题与...

定积分的几何应用一般用于求平面区域的面积、空间立体的体积和曲线段的长度。它们的求解都可以基于元素法(或称为微元法),即“分割取近似,作和求极限”来构建定积分模型。一、微元法(元素法)构建积分模型的步骤1、确定所求量可用定积分模型计算(1)所求量具有可加性;...

阿基米德是如何用杠杆原理和微积分原理来推导球的体积的?

在《方法论》中,记录了阿基米德用杠杆原理和微积分思想推导球的体积。阿基米德设计了一个这样的系统:图1有三个物体分别是:高和底半径为2r的圆锥体,半径为r的球体,高和底半径为2r的圆柱体。阿基米德证明,这三个物体组成的一种杠杆系统是可以达到平衡的。