数学之美的顶峰——高维球体的体积,最反直觉的“数学物体”

遵循这种推理方法,得出的是用于计算半径为R的n维球体积的以下多种积分:直观上,这代表了体积,因为这个多重积分是对所有可能的角度和半径进行积分。在某种意义上,它“覆盖”了超球体的整个体积——几乎与积分圆形或球体的方式完全相同。同时请注意,因为我们研究的是单位球,所以稍后代入R=1。现在,让我们开始逐步解开...

球的面积,球的表面积、体积公式,是怎么来的?感兴趣可以看看

看最后这个公式,是从a积分到b,而球体的面积则是从-r积分到r。代入到最后这个式子之后,就是球体表面积4πr??。体积呢?阿基米德是用浮力,计算相当复杂。还是硬算。把球体分成小切片,然后放到水中,观察水里每个小切片所占的体积和产能生的浮力,以及容易液体水位的升高。可见这个过程是非常复杂的,咱们没有...

“圆”来如此!小编也不懂|数学|高维|周长|比值|圆周率|无理数...

“同等体积下,球体的表面积最小”类似的情况在平面几何中同样存在“同等面积的图形,圆的周长最短”今天是3月14日是联合国教科文组织确定的国际数学日“3.14”是最接近圆周率的两位小数因此,今天又被称作“πDay”那么,圆周率还有哪些有趣的性质和原理跟北京大学的同学们一起来探索吧北大的夕阳与...

“低调”的中国数学

而在微积分的发明过程中,面积体积的计算无疑起到了重要作用。卡瓦利列放弃了严密的穷揭法,采用粗糙的不可分量法,才在这一方面有重大突破。但是这一原理早在祖冲之、祖暅父子的著作中便有记载,即“幂势相同则积不容异”,并且将其运用到了球体的计算之中。西方数学史家总以为希腊式的严密推理是科学的,一直认为中...

一个未被探索的数学世界——第五种算术运算,刷新你对数学的认知

在这种异类微积分中,x^2的平行导数是x/2,而ln(x)的平行导数是甚至有平行泰勒级数和平行傅里叶级数,平行拉普拉斯变换等!据我所知,这是一片未被探索的领域,我们即将踏上进入这个未被探索的数学世界的旅程。平行加法和平行减法让我们首先定义平行加法和平行减法,并讨论这种运算名称中“平行”一词从何而来。

推导球坐标系的体积微元 《张朝阳的物理课》验证均匀球体的引力可...

作为球坐标系的一个典型应用,现在计算质量为m的质点与半径为r的球壳之间的引力,质点与球心的距离为R,具体参数如下图所示:(张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力)张朝阳继续说明,“设球壳密度为ρ,半径为r的球壳上的小体积元质量为ρr^2sinθdθdφdr,其与质点的距离设为l,则球壳与质点m之间的...

科学家开发出新的数学方法来计算粒子模型复杂费曼积分

决定费曼积分复杂度的一个重要性质是它的几何形状。许多最简单的费曼积分都具有球体或圆环的几何形状——甜甜圈形状的数学术语。这样的积分现在已经很好理解了。然而,存在整个几何形状家族,即所谓的卡拉比-丘几何形状,它们是甜甜圈案例向更高维度的推广。这些已被证明是纯数学研究的丰富领域,并且在过去的几十年中在弦理...

学物理也要用到基础数学,《张朝阳的物理课》推导球坐标系体积元

作为球坐标系的一个典型应用,现在计算质量为m的质点与半径为r的球壳之间的引力,质点与球心的距离为R,具体参数如下图所示:(张朝阳巧妙选取积分变量计算球壳与质点的引力)张朝阳继续说明,“设球壳密度为ρ,半径为r的球壳上的小体积元质量为ρr^2sinθdθdφdr,其与质点的距离设为l,则球壳...

高斯狂想曲,非常强大的高斯积分(求解技巧)

高斯积分几乎出现在数学和物理的所有领域,甚至在你意想不到的地方。高斯函数和维中的球体的体积有密切关系。高斯积分很强大,我希望在阅读完这篇文章后,你会同意。高斯积分是以伟大的德国数学家卡尔·弗里德里希的名字命名的它描述了位于=附近的钟形曲线下的面积,下方绘制的宽度对应于...

一次性掌握微积分和线性代数两大神器,这本书做到了!

这个方程中最重要的部分是一个看起来像倒三角形的符号,它代表了向量微积分中的梯度算子(gradientoperator)。压力函数,表示该点压力增加的方向和速度。这里的负号表明,流速的三维向量指向相反的方向。这个方程用数学术语说明了,流体从高压区流向低压区。