席南华:基础数学的一些过去和现状
一般的解很容易给出:X=a2-b2,Y=2ab,Z=a2+b2,其中a,b是任意整数。高次的情形就是方程xn+yn=zn,其中n是大于2的整数。1637年,费马在一本书内的边页写道,他有一个此方程无非平凡整数解的证明,但太长,边页空白处写不下。人们怎么也没找出费马说的那个证明,一般认为费马在书中注记说的证明可能有问题,...
数学领域中,最令人痴迷的还得是数论,最简单的也是最难的
我们可以把正整数中的素数和合数分别用1和0来表示,如果从3开始,每遇到一个素数就写一个1,遇到合数则写一个0,这样从3开始的正整数序列就成了也就是Cramér的思想是假设这个表示素数和合数的01序列有着“典型的”01序列的性质,并且利用这一点来对素数作出精确的猜测。更精确地说,设X_3,X_4,…是一个随机...
虽然这个问题的定义很简单,但数学还没有解决它的方法
考拉兹猜想(又称为奇偶归一猜想、3n+1猜想)是一个深刻的数学未解难题,以其简单直观的定义和证明上的巨大挑战吸引了无数数学爱好者和专业数学家的追逐。考拉兹猜想简介考拉兹猜想基于一个非常直观的迭代过程:对于任意一个正整数,如果是偶数,那么下一步将除以2;如果是奇数,则乘以3后加1。重复这...
跨越300多年的接力:受陶哲轩启发,数学家决定用AI形式化费马大定理...
这段话前面所表述的就是费马大定理的内容:当整数n>2时,关于x^n+y^n=z^n的方程没有正整数解。费马表示,自己知道怎么证明,但因为书的空白部分太小,就没有写。对于该故事的真实性以及费马是否真的想出了证明方法,后世是存在争议的。在之后的300多年里,数学家们一直在努力,接力证明费马大定理。
成人本科数学基础
方根如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a,这个数叫做a的n次方根。开方求一数的方根的运算叫做开方。算术根正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根,零的算术根是零,负数没有算术根。代数式用有限次运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结所得的式子,叫做代...
为什么数学家要努力求解这些看起来无用的难题? | 徐晓平
例如,问小于X的正整数里有多少个素数时,当X小的时候能数,X大了就很难数了(www.e993.com)2024年7月30日。而根据素数定理就能知道,当X充分大的时候,这个值与X除于lnX的值相近。近看小于X的素数的个数看不出所以然,远看它却表现出优美的规律:X除以lnX,这就是数学的美妙之处。
没想到吧,唐国明论证的哥德巴赫猜想数学成果,确以文学方式发表问世
取任一自然大于0的正整数如此连续通过“奇变递增”与“偶变递减”后都会最后落入4、2、1的数字循环圈。在这个数学规则里,若问我从哪里来,我是从“奇变”“偶变”的奇数偶数中来。若问我到哪里去,到4、2、1的数字循环圈里去。若问我为何要“从哪里来到哪里去”,是因为有“奇变递增”与“偶变递减”...
21世纪数论中的重大里程碑——卡塔兰猜想,为什么数字2和3很重要
在正整数x、y、a和b中只有一个解,即a=2,b=3,x=3,y=2。这意味着,除了8和9之外,没有其他连续的正整数幂之间差为1。为了解这个方程,这里,因式分解使问题显著简化,因为我们现在可以专注于理解y的除数。假设y是奇数,这意味着2不整除y。如果y是奇数,那么y的任何因子要么整除(x-1),要么整除(x...
谷歌AI一分之差痛失IMO金牌!19秒做一题碾压人类选手,几何AI超进化...
一般来说,每届IMO试题中第一题(P1)相对来说,是比较容易的。网友表示,「P1仅需要高中数学知识就够了,人类选手通常会在60分钟内完成」。IMO2024第一题主要考察了实数α的性质,并要求找出满足特定条件的实数α。AI给出了正确答案——α是偶整数。那么,它具体是如何解答的呢?
王浩︱生物学的形式与直觉
即使在数学中,我们也知道皮亚诺(Peano)的算术公理和欧几里得的几何公理在经过适当修正后是完备的。事实上,这些被证明完备的公理系统在图灵的精确意义上并不是形式的。它们被称为二阶系统,其中假设了存在所有正整数和几何点的集合,这个假设涉及到一组命题,它们不能在形式系统内被编码。因此,我们对形式系统的概念进行...