席南华:基础数学的一些过去和现状
表示论过去几十年的发展可能给人印象最深的是几何方法在代数群和量子群表示理论中的运用并由此产生的几何表示论、用表示论研究数论的朗兰兹纲领和一个平行的几何朗兰兹纲领、李(超)代数及其表示的发展与在理论物理和数学物理中的应用(包括标准模型),还有近二十年的一股范畴化潮流。另外,传统的李群表示理论、代数表...
群论——一门探索对称与代数结构的神奇数学
此外,循环群总是交换的,即满足交换律。2.2交换群(阿贝尔群)交换群(也称阿贝尔群)是满足交换律的群,即对于群中任意两个元素a和b,有ab=ba。交换群在群论中具有重要地位,因为许多实际应用和理论研究都涉及交换性质。以下是一些交换群的例子:模n加法群:前面提到的模n加法群是一个典型的有限交换群。...
《历史与结构观点下的群论》:群的来历与本质
此外,通过对群结构加一些附加条件,就得到了其他群结构。比如对集合的基数设为有限,则得到了有限群结构,本书主要讨论的就是有限群。再比如,对群的元素加上运算可交换的条件,就得到了交换群。因此,从结构数学的观点来看,群论的主要内容可以分为以下各个方面:附加结构(有限群、交换群)、子结构(子群)、商结构(商群)...
挚爱数学:非凡的天才伽罗瓦和他优美的理论
所以,f的伽罗瓦群有两个元素,平凡置换和交换两个根的置换,也就是把1+变为1-,反之亦然,并固定其他的有理数。这正是2阶循环群,同构于。(在高等数学的术语中,这表示“两个群相同”。)以现代的语言,我们可以考虑f的分裂域K,并假设有相异的根,定义f的伽罗瓦群为所有可以固定有理数的K...
由浅入深,轻松理解抽象代数的重要分支——群论
显然1是它自己的倒数。这也是一个交换群(阿贝尔群)。群的更多例子包括:加法和整数的集合。乘法和有理数的集合(不包括0)。多项式方程x??-1=0的解(称为n次单位根)和乘法的集合。x??-1=0的5次单位根。以下是一些非群的例子:加法下的自然数集合不是一群,因为没有逆,也就是负数。
合肥工业大学数学学院2023考研复试考试大纲
事件与概率、条件概率与统计独立性、随机变量与分布函数、数字特征与特征函数、极限定理、参数点估计、假设检验、区间估计(www.e993.com)2024年10月25日。近世代数代数运算、等价关系、集合的分类、群、子群及陪集、Lagrange定理及相关结论、循环群、交换群、置换群、群同态、群同构、正规子群、商群、群同态基本定理及应用。环的定义及性质、整环...
伽罗瓦理论究竟想干什么?
出于一些不那么直观的原因,我们还要求每个商群具有交换性(就是),满足上述两个条件的被称为可解群。可以证明,方程根式可解性等价于对应的伽罗瓦群可解性。那么这里我们就只需要看对应的伽罗瓦群了。经过复杂的步骤,可以证明,一般的次方程,其伽罗瓦群为阶置换群(正好相当于把个根进行排列!)。而的置换...
抽象数学
这些研究被卡尔·弗里德里希·高斯更进一步的推进,他考量了可交换群模n的剩余之结构,并建立起许多循环群与更一般的阿贝尔群之性质。在高斯对二元二次型复合的研究中,他明确指出了复合的结合律,但如同欧拉一般,比起一般性的理论,他似乎对具体的结论更感兴趣。1870年,利奥波德·克罗内克给出阿贝尔群在数域之理想...
破解对称性的必备利器——群论
分别表示4阶循环群(Cyclicgroup)和8阶二面体群(Dihedralgroup,又名“墙纸群”)。这里需要注意注意,群的阶数表示它的元素个数,由于D_4有两个生成元(旋转和翻折两个动作),一共含有8个元素而非4个,有兴趣的读者可以自行验证。然而数学家们并不喜欢上面这种对于群的解读方式——用群这么...