数学思维到底是什么?如何训练?顶尖数学大学教授的这篇文章终于说...

数学概念就是一组系统的认知——它们源于已经建立的概念的经验,以某种方式互相关联。心理学家把这种系统的认知称作“基模”。例如,孩子可以先学习数数(“一二三四五,上山打老虎”),然后过渡到理解“两块糖”“三条狗”的意思,最后意识到两块糖、两只羊、两头牛这些事物存在一个共通点——也就是“2”。那么在他...

如何理解数学中的集合概念?集合在逻辑和数据处理中有什么应用?

在数学领域中,集合是一个基础且重要的概念。集合可以被理解为具有某种特定性质的对象的总体。这些对象可以是数字、字母、图形,甚至是抽象的概念。集合通常用大括号“{}”来表示。例如,{1,2,3}就是一个由数字1、2、3组成的集合。集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。确定性指的是一个对象要么...

数学悖论系列之六(选择公理的悖论)

假设AC等同于假设以下任何原则(以及许多其他原则):给定任意两个集合,一个集合的基数小于或等于另一个集合的基数--即,一个集合与另一个集合的某个子集一一对应;场F上的任何向量空间在该场上都有一个基——即一个最大线性独立子集;紧凑拓扑空间的任何乘积都是紧凑的……一些纯数学家和许多应用数学家...

上下求索之解码数学中著名的分形——曼德尔布罗特集合(下)

曼德尔布罗特集合的边界形成了丰富的数学景观,有丰富的观光机会。左上:婴儿曼集。右上:螺旋星系。左下:海马峡谷。右下:大象峡谷。图源:MerrillSherman每当你与该领域的数学家交谈时,这种熟悉感就很明显了。他们可以轻松浏览不同的计算机程序,放大到特定位置以显示不同的属性。杜德科(DimaDudko)将这些图像描述...

阿里数学初赛第三题里的稠密子集,数学抽象的背后是朴素 | 二湘空间

超越人类直觉是工科数学与理科数学的分水岭,工科数学都是可以用直觉想象理解的。稠密子集就是为上面几类点量身定做的概念,其目的是揭示平面的本质:平面上有这几类怪异的点,那平面究竟是什么?稠密子集的完整叙述是:平面上任意一点的不管多小距离内,都有属于那个子集的点。

席南华:基础数学的一些过去和现状

黎曼对素数和ζ函数的研究工作影响深远(www.e993.com)2024年11月15日。一般认为黎曼猜想是数学中最有名的猜想,也是克雷数学研究所的悬赏百万美元的千禧年问题之一,自它提出之时起就在数学研究中占有突出的位置,很多问题与它有关,还与算子代数、非交换几何、统计物理等有深刻的联系,在阿达马和德拉瓦勒-普桑对素数定理的证明中起关键的作用。

罗素的终极目标:把数学还原到逻辑

所有水牛的集合是X的一个成员,因为它的描述“所有水牛的集合”(thesetofallbuffaloes)只需要5个单词。同样,所有豪猪刺的集合(thesetofallporcupineneedles)(6个单词)也应该在X中,生活在南美洲的所有蚊子的集合(thesetofallmosquitoeslivinginSouthAmerica)(9个单词)也在X中。但是,...

古怪烧脑的“理发师悖论”竟引发第三次数学危机,后来怎么样了?

说谎者声称的是“我”说的话。看起来,将自身包括在“集合”中不是好事,可能会产生出许多意想不到的问题。这些悖论提醒数学家们重新考察集合的定义,康托的集合论对“集合”的定义太原始,以为把任何一堆东西放一起,只要它们具有某种简单定义的相同性质,就可以数学抽象为“集合”。人们后来将康托的理论称为“朴素...

人机混合智能:新一代智能系统的发展趋势

平心而论,人工智能要超越人类智能,在现有数学体系和软硬件设计模式基础之上,基本上不大可能,但在人机一体化或人机环境系统中却是有可能的。人工智能是逻辑的,智能则不一定是逻辑的。智能是一个非常辽阔的空间,它可以随时打开异质的集合,把客观的逻辑与主观的超逻辑结合起来。

庞加莱狂攻击,老师怒割席,一念天堂一念地狱的数学理论

康托尔是在研究“函数的三角级数表达式的唯一性问题”的过程中,先是涉及无穷点集,随后一步步地发展出一般集合概念,并把集合论发展成一门独立学科的。这一段历史再次告诉我们,抽象的数学概念往往来自于对具体数学问题的研究。在上面,我们提到康托尔的理论在当时受到了猛烈攻击,一般读者会对此感到不解。因为我们所学...