数学悖论系列之六(选择公理的悖论)

一阶逻辑是一个逻辑系统,它包括逻辑公理和演绎规则的集合,而ZFC是根据一阶语言编写的公理的集合。一阶逻辑中的任何公理系统都被认为是自动包含了一阶逻辑的所有逻辑公理,所以ZFC可以说包含了更多的公理,也因此可以证明更多的东西。但由于哥德尔的不完备性定理意味着任何“合理的”公理系统都不可能是完整的,也就是说,...

公理与定理的区别

公理的形成不需要逻辑推理,而是基于人类的共同经验和理性判断。定理:定理则是通过逻辑推理和证明过程形成的。数学家们从已知的真命题出发,运用演绎推理的方法,逐步推导出新的真命题。定理的形成过程体现了数学的严谨性和逻辑性。适用领域不同在应用上,公理和定理也各有其独特的功能。公理为数学理论提供了基础框架,...

揭秘数学的语言:从定义到公理的逻辑之旅

与定义不同,公理(又称公设)是一个数学系统中被普遍认为是基础真理的陈述,而无需证明。公理是构建数学理论的出发点。一组公理能构成某个公理系统的基础框架,用于建立特定的数学理论。每个公理系统都试图以最少且最基本的假设出发,来构建整个理论体系。例如,欧几里得几何的五大公理、皮亚诺公理(Peanoaxioms)与集合...

理论如何运作:牛顿力学的例子 | 张卜天译《科学哲学导论》

也就是说,它包含一组公设和公理,即公理系统中没有证明、但在系统中假设为真的命题,以及按照逻辑规则通过演绎由公理导出的大量定理。除了公理和定理,还有对一些术语的定义,比如直线(现在通常被定义为两点之间的最短距离)和圆(与给定点等距的点的轨迹)。当然,定义是由公理系统中未定义的术语组成的,如点和距离。如果...

王浩︱生物学的形式与直觉

例如,为了支持孟德尔遗传学是一个真正的公理系统,鲁斯从下列主要论据中推导出H-W定律:“孟德尔第一定律;其他生物学假设,比如雄-雌杂交和雌-雄(并不总是正确的,但在设定的范围内);以及某些基本数学假设。”(M.Ruse,ThePhilosophyofBiology,London:Hutchinson,1973,p.33)这可能是公理系统的一个重要...

“氢弹之父”乌拉姆:我的朋友冯·诺伊曼

冯·诺伊曼指出了任何公理系统形式化的局限性(www.e993.com)2024年11月3日。这里也许是对哥德尔(KurtG??del)关于形式系统中存在不可判定命题的一个模糊预测。最后一句话是:“就目前而言,我们能做的莫过于声明这里存在对集合论本身的反对意见,而且现在还没有办法避免这些困难。(也许在这里我们会想到一个完全不同的科学领域的类似说法:泡利(...

数学的内涵:理解逻辑,抽象和结构之美

数学可并不仅仅是一堆莫名其妙的符号、长长公式或枯燥定理的集合,而是一种深刻的思考方式,一种探索世界的工具,一种描述宇宙的语言。数学的本质是逻辑、抽象和结构的美。让我们从数学的逻辑开始。数学的理论构建在一套严谨的公理和推理规则之上。这些公理和规则就像是数学的基本法律,所有的数学结论都必须严格遵守这些...

安全科学公理、定理、定律的分析与探讨

第二公理:事故是安全风险的产物;第三公理:安全是相对的;第四公理:危险是客观的;第五公理:人人需要安全。二、安全科学定理(定理是指事物发展的必然要求或必须遵循的规律,定理可基于公理推导得出)定理一:坚持安全第一的原则;定理二:秉乘事故是可预防信念;...

哥德尔不完备性定理的意义是什么?

这样,我们得出一个重要结论:纯数学知识作为可测量的可靠信息,一开始就已经被包含在定义该数学分支的公理之中了。公理作为符号系统的结构,是符号组合的可能性空间缩小;纯数学研究(如定理证明)不是别的,其乃从公理集合中提取相应可测量的可靠信息的活动。

初中数学之8.3 基本事实与定理

1、我要理解公理、定理和证明的含义以及它们与命题之间的联系与区别;2、我会区分公理和定理的题设和结论,把命题写成"如果……那么……"形式;3、我会结合实例意识到证明的必要性,培养说理有据,有条理的表达自己想法的良好意识,了解证明的步骤和格式。学习重点知道什么是公理,什么是定理,什么是证明。学...